Un sous-ensemble U d'un espace topologique (X, τ) qui appartient à la topologie τ ; de façon équivalente, pour chaque point x dans U il existe un voisinage (un ensemble ouvert de τ) contenu dans U.

Principe

Les ensembles ouverts sont les briques élémentaires d'une topologie : les unions arbitraires et les intersections finies d'ouverts restent ouverts, et l'ensemble vide ainsi que l'espace total sont ouverts.

Démonstration

Dans un espace métrique, un ouvert est toute réunion de boules ouvertes ; par exemple, l'intervalle ouvert (0,1) sur la droite réelle avec la topologie usuelle est ouvert car chaque point admet une boule de rayon suffisamment petit contenue dans (0,1).

Mauvaise application

Considérer tout sous-ensemble comme ouvert sans référence à la topologie (par exemple affirmer qu'un point isolé est ouvert sur la droite euclidienne standard) ou confondre ouverture et absence de frontière ; cela fausse les arguments sur la continuité ou les points d'adhérence.

Conséquence

L'ouverture caractérise la continuité (les images réciproques d'ouverts sont ouvertes), les systèmes de voisinage, l'opération d'intérieur et le comportement local des fonctions ; de nombreux invariants topologiques et axiomes de séparation s'expriment en termes d'ouverts.

Inversion

La notion duale est celle d'ensemble fermé (complémentaire d'un ouvert) ; raisonner uniquement avec des fermés est équivalent mais déplace la perspective vers les limites et les adhérences plutôt que vers les voisinages et l'intérieur.

Limite

Dépend entièrement de la topologie choisie ; un ensemble peut être ouvert pour une topologie et pas pour une autre. Le concept exclut les assertions concernant la mesure, la différentiabilité ou la structure algébrique sauf si la topologie les encode.

Tension sémantique

Concurrence avec la notion d'ensemble fermé et avec des notions comme mesurabilité ou densité ; la tension tient à la distinction entre descriptions locales (voisinage/intérieur) données par les ouverts et descriptions globales données par la fermeture ou la clôture.

Synthèse

Un ensemble ouvert est un membre de la topologie dont les points possèdent des voisinages contenus en lui ; c'est la notion locale/de voisinage qui, par unions et intersections finies, engendre la structure topologique et soutient la continuité et l'opération d'intérieur.