Un subconjunto U de un espacio topológico (X, τ) que pertenece a la topología τ; equivalentemente, para cada punto x en U existe una vecindad (un conjunto abierto de τ) contenida en U.

Principio

Los conjuntos abiertos son los bloques básicos de una topología: uniones arbitrarias y intersecciones finitas de conjuntos abiertos son abiertas, y tanto el conjunto vacío como el espacio total son abiertos.

Demostración

En un espacio métrico, un abierto es cualquier unión de bolas abiertas; por ejemplo, el intervalo abierto (0,1) en la recta real con la topología usual es abierto porque cada punto tiene una bola de radio suficientemente pequeño contenida en (0,1).

Aplicación incorrecta

Tratar cualquier subconjunto como abierto sin referencia a la topología (por ejemplo afirmar que un punto individual es abierto en la recta euclidiana estándar) o confundir apertura con ausencia de frontera; esto induce errores sobre continuidad o puntos de acumulación.

Consecuencia

La apertura caracteriza la continuidad (las preimágenes de abiertos son abiertas), los sistemas de vecindad, la operación de interior y el comportamiento local de funciones; muchos invariantes topológicos y axiomas de separación se enuncian en términos de abiertos.

Inversión

La noción dual es la del conjunto cerrado (complemento de un abierto); razonar solo con cerrados es equivalente pero desplazará la perspectiva hacia límites y cierres en lugar de vecindades e interiores.

Límite

Depende enteramente de la topología elegida; un conjunto puede ser abierto en una topología y no serlo en otra. El concepto excluye afirmaciones sobre medida, diferenciabilidad o estructura algebraica salvo que la topología las incorpore.

Tensión semántica

Compite con la noción de conjunto cerrado y con nociones como medibilidad o densidad; la tensión está entre descripciones locales (vecindad/interior) dadas por abiertos y descripciones globales dadas por el cierre o la clausura.

Síntesis

Un conjunto abierto es un miembro de la topología cuyos puntos admiten vecindades contenidas en él; es la noción local/de vecindad que, mediante uniones e intersecciones finitas, genera la estructura topológica y sustenta la continuidad y la operación de interior.