Un invariant d'une représentation galoisienne locale ou d'une extension finie de corps locaux qui mesure la profondeur de la ramification sauvage (non modérée) ; il représente la contribution provenant des groupes de ramification supérieurs, au‑delà de la part tamée.

Principe

Quantifier la taille et la complexité de la ramification sauvage en sommant les sauts pondérés dans la filtration en numérotation supérieure de l'inertie ; le conducteur de Swan isole la contribution purement sauvage du conducteur d'Artin.

Démonstration

Pour une extension finie d'un corps p‑adique ayant des groupes de ramification supérieurs non triviaux, on considère les sauts de la filtration en numérotation supérieure de l'inertie et on forme la somme pondérée des dimensions dans une représentation galoisienne ; le résultat non nul est le conducteur de Swan, qui distingue le sauvage du tamé.

Mauvaise application

Traiter le conducteur de Swan comme égal au conducteur d'Artin complet ou l'utiliser pour mesurer la ramification tamée uniquement ; de même, appliquer sa définition habituelle sans contrôler l'inertie sauvage (par ex. image infinie mal comprise) conduit à des valeurs erronées.

Conséquence

Un conducteur de Swan positif impose des phénomènes sauvages : il affecte les facteurs epsilon et les constantes locales dans les équations fonctionnelles, contribue aux exposants du conducteur global et contrôle la croissance des discriminants et des bornes dans les problèmes de relèvement.

Inversion

Lorsque le conducteur de Swan vaut zéro, la représentation/l'extension est tamée et il n'y a pas de contribution sauvage ; l'inversion du concept donne un critère: l'absence de comportement sauvage équivaut à la disparition du terme de Swan.

Limite

Invariant local pour les représentations du groupe de Galois absolu d'un corps local (ou pour des extensions finies) ; il n'est pas directement global sauf lorsqu'on le somme sur les places, et les définitions standard demandent une image finie sur l'inertie sauvage ou une continuité ℓ‑adique pour être bien posé.

Tension sémantique

On le confond souvent avec le conducteur d'Artin (qui mêle parties tamée et sauvage) ou avec les exposants du discriminant ; le conducteur de Swan isole spécifiquement la contribution sauvage, alors que les notions voisines mélangent des données tames et sauvages.

Synthèse

Le conducteur de Swan est le témoin numérique de la ramification sauvage : on calcule les sauts de l'inertie, on les pondere par leur dimension, et le reste non nul indique exactement comment et combien une extension ou une représentation s'écarte du comportement tamé.