Un invariante de una representación galoisiana local o de una extensión finita de cuerpos locales que mide la profundidad de la ramificación salvaje (no tamizada); es la contribución al conductor procedente de los grupos de ramificación superiores, más allá de la parte tamizada.

Principio

Cuantificar el tamaño y la complejidad de la ramificación salvaje sumando los saltos ponderados en la filtración con numeración superior de la inercia; el conductor de Swan aísla la contribución puramente salvaje del conductor de Artin.

Demostración

Para una extensión finita de un cuerpo p‑ádico con grupos de ramificación superiores no triviales, se calculan los saltos en la filtración de numeración superior y se forma la suma ponderada de sus dimensiones en una representación galoisiana; el resultado no nulo es el conductor de Swan, que distingue lo salvaje de lo tamizado.

Aplicación incorrecta

Confundir el conductor de Swan con el conductor de Artin completo o usarlo para medir únicamente la ramificación tamizada; asimismo, aplicar su definición estándar sin controlar la inercia salvaje (por ejemplo, imagen infinita mal entendida) produce valores incorrectos.

Consecuencia

Un conductor de Swan positivo obliga a fenómenos salvajes: afecta factores epsilon y constantes locales en ecuaciones funcionales, contribuye a los exponentes del conductor global y controla el crecimiento de discriminantes y cotas en problemas de elevación.

Inversión

Cuando el conductor de Swan es cero la representación/la extensión es tamizada y no hay contribución salvaje; invertido, esto da un criterio: la ausencia de comportamiento salvaje equivale a la desaparición del término de Swan.

Límite

Un invariante local para representaciones del grupo de Galois absoluto de un cuerpo local (o para extensiones finitas); no es directamente global salvo al sumarlo sobre las plazas, y las definiciones habituales requieren imagen finita en la inercia salvaje o continuidad ℓ‑ádica para estar bien planteado.

Tensión semántica

A menudo se confunde con el conductor de Artin (que mezcla partes tamizadas y salvajes) o con exponentes del discriminante; el conductor de Swan aísla específicamente la contribución salvaje, mientras que nociones cercanas mezclan datos tamizados y salvajes.

Síntesis

El conductor de Swan es la medida numérica de la ramificación salvaje: calcula los saltos en la inercia, pónlos en peso según su dimensión, y el remanente no nulo indica exactamente cuánto y cómo una extensión o representación se aparta del comportamiento tamizado.