Des groupes de cohomologie (galoisienne ou étale) constitués de classes non ramifiées en toutes les valuations discrètes pertinentes ou en tous les points de codimension un ; ces groupes rassemblent les classes dont les résidus locaux sont nuls et mesurent ainsi des obstructions aux principes locaux-globaux et aux questions de rationalité ou de rationalité stable des variétés.

Principe

Une classe non ramifiée est une classe dont les résidus en toute valuation discrète du corps de fonctions (ou en tout point de codimension un d'un modèle régulier) sont nuls ; le principe est que l'annulation de ces obstructions locales définit un sous-groupe global stable par passage aux modèles lisses et détecte des obstructions arithmétiques non triviales.

Démonstration

Le groupe de Brauer non ramifié Br_nr(X) d'une variété projective lisse X sur un corps est le sous-groupe de H^2_et(k(X), G_m) à résidus triviaux en tous les points de codimension un ; des éléments non nuls de Br_nr(X) peuvent faire obstacle au principe de Hasse pour les points rationnels, comme dans des exemples classiques où la solubilité locale n'entraîne pas la solubilité globale.

Mauvaise application

Considérer la cohomologie non ramifiée comme la cohomologie étale entière d'un schéma sans vérifier les applications résiduelles, ou supposer que l'annulation des résidus en un nombre fini de places implique la non ramification globale ; la non ramification exige le contrôle de toutes les valuations discrètes du corps de fonctions et dépend des singularités des modèles.

Conséquence

La cohomologie non ramifiée fournit des invariants fins obstruant la rationalité, la rationalité stable et le principe de Hasse ; des classes non triviales impliquent souvent l'échec des correspondances locales-globales attendues et donnent des obstructions invisibles à des invariants plus simples comme le groupe de Picard.

Inversion

Des classes ramifiées possèdent des résidus non nuls en certaines valuations discrètes et reflètent des phénomènes locaux (par exemple la ramification de revêtements ou de torseurs) qui empêchent d'élever ces obstructions vers une classe globale non ramifiée.

Limite

Définie en général pour des variétés lisses projectives ou au moins intègres régulières sur un corps en utilisant la cohomologie galoisienne/étale et les applications résiduelles en codimension un ; elle ne s'applique pas telle quelle aux schémas singuliers arbitraires, aux corps locaux sans passer par des corps de fonctions globaux, ni aux théories de cohomologie dépourvues d'applications résiduelles bien comportées.

Tension sémantique

Concurrence avec des notions comme la cohomologie à support compact ou la cohomologie étale complète d'un modèle ; la tension tient entre les conditions d'annulation des résidus locaux (non ramifié) et les classes cohomologiques globales qui peuvent être trivialisées ou obstruées par des singularités ou par une ramification en codimension supérieure.

Synthèse

La cohomologie non ramifiée est le sous-groupe de la cohomologie galoisienne/étale formé des classes à résidus locaux nuls en toutes valuations discrètes ; elle assemble des conditions locales de résidu en un invariant global détectant des échecs subtils de rationalité et des principes locaux-globaux.