Grupos de cohomología (galoisiana o étale) formados por clases que son no ramificadas en todas las valoraciones discretas relevantes o puntos de codimensión uno; estos grupos capturan clases cuyos residuos locales se anulan y miden obstrucciones a principios locales-globales y a cuestiones de racionalidad o racionalidad estable de variedades.

Principio

Una clase de cohomología no ramificada es aquella cuyos residuos en cada valoración discreta del campo de funciones (o en cada punto de codimensión uno de un modelo regular) son cero; el principio es que la anulación de estas obstrucciones locales define un subgrupo global estable al pasar a modelos lisos y detecta obstrucciones aritméticas no triviales.

Demostración

El grupo de Brauer no ramificado Br_nr(X) de una variedad proyectiva lisa X sobre un cuerpo es el subgrupo de H^2_et(k(X), G_m) con residuos triviales en todos los puntos de codimensión uno; elementos no nulos de Br_nr(X) pueden obstruir el principio de Hasse para puntos racionales, como en ejemplos clásicos donde la solubilidad local no implica solubilidad global.

Aplicación incorrecta

Tratar la cohomología no ramificada simplemente como la cohomología étale completa de un esquema sin comprobar las aplicaciones residuo, o suponer que la anulación de residuos en un número finito de lugares implica no ramificación global; la no ramificación exige controlar todas las valoraciones discretas del campo de funciones y es sensible a las singularidades de los modelos.

Consecuencia

La cohomología no ramificada proporciona invariantes refinados que obstruyen la racionalidad, la racionalidad estable y el principio de Hasse; clases no triviales suelen implicar fallos de las correspondencias locales-globales esperadas y dan obstrucciones invisibles a invariantes más simples como el grupo de Picard.

Inversión

Las clases ramificadas tienen residuos no nulos en ciertas valoraciones discretas y reflejan fenómenos locales (por ejemplo, ramificación de recubrimientos o de torcedores) que impiden elevar dichas obstrucciones a una clase global no ramificada.

Límite

Definida típicamente para variedades suaves proyectivas o al menos integrales regulares sobre un cuerpo mediante cohomología galoisiana/étale y aplicaciones residuo en codimensión uno; no se aplica sin cambios a esquemas singulares arbitrarios, a cuerpos locales sin pasar a cuerpos de funciones globales, ni a teorías de cohomología que carezcan de aplicaciones residuo bien comportadas.

Tensión semántica

Compite con nociones como la cohomología con soporte compacto o la cohomología étale completa de un modelo; la tensión está entre las condiciones locales de anulación de residuos (no ramificado) y las clases cohomológicas globales que pueden ser trivializadas u obstaculizadas por singularidades o ramificación en codimensión superior.

Síntesis

La cohomología no ramificada es el subgrupo de la cohomología galoisiana/étale formado por clases con residuos locales nulos en todas las valoraciones discretas; reúne condiciones locales de residuos en un invariante global que detecta fallos sutiles de racionalidad y de principios locales-globales.