Pour une variété abélienne A sur un corps global, le groupe de Tate–Shafarevich (noté Sha) est le groupe des espaces homogènes principaux (torseurs) pour A qui sont localement triviaux en chaque complétion du corps de base mais peuvent échouer à posséder un point rationnel global ; il mesure l'obstruction précise au principe de Hasse pour A.

Principe

Sha se définit comme le noyau de l'application de localisation H^1(global, A) → ∏_v H^1(local_v, A) en cohomologie galoisienne ; les éléments représentent des classes qui s'annulent localement partout sans l'être nécessairement globalement.

Démonstration

Pour une courbe elliptique E sur Q, un élément de Sha correspond à une courbe qui admet un point sur chaque complétion Q_p et sur R mais n'a aucun point rationnel sur Q ; de tels torseurs apparaissent dans les calculs de descente et se manifestent comme obstacles à la représentation d'un point rationnel global.

Mauvaise application

Prétendre que Sha est toujours fini ou calculable en général ; traiter l'annulation ou la non-annulation de Sha comme fournissant directement une information complète sur les points rationnels sans considérer sa relation aux groupes de Selmer et aux procédures de descente.

Conséquence

Lorsqu'il est fini et connu, Sha quantifie l'échec local–global et intervient dans des formules arithmétiques (par exemple comme facteur dans des formules conjecturales pour des valeurs spéciales de fonctions L), et sa structure contraint la relation entre la solvabilité locale et les points rationnels globaux.

Inversion

La situation inverse est Sha trivial (Sha=0), qui affirme que tout torseur localement trivial est trivial globalement et donc que le principe de Hasse vaut pour la variété abélienne considérée.

Limite

Défini pour les variétés abéliennes sur corps globaux en utilisant la cohomologie étale ou galoisienne en degré un ; il ne décrit pas directement les obstructions de degré supérieur ni les torseurs non abéliens, et de nombreuses questions fondamentales sur sa finitude et sa calculabilité restent ouvertes.

Tension sémantique

Tension entre Sha comme invariant global subtil souvent conjecturé fini et l'usage pratique d'approximations calculables (groupes de Selmer) qui bornent Sha mais confondent parties visibles et invisibles ; l'opacité conceptuelle de Sha contraste avec le caractère algorithmique de ses approximations.

Synthèse

Le groupe de Tate–Shafarevich est le réceptacle cohomologique des torseurs localement triviaux partout mais éventuellement non triviaux globalement, servant de mesure canonique de l'échec local–global pour les variétés abéliennes et jouant un rôle central dans la descente et les formules arithmétiques conjecturales.