Für eine abelsche Varietät A über einem globalen Körper ist die Tate–Shafarevich-Gruppe (häufig Sha genannt) die Gruppe der principalen homogenen Räume (Torseure) für A, die lokal in jeder Vervollständigung trivial sind, aber global möglicherweise keinen rationalen Punkt besitzen; sie misst die genaue Obstruktion des Hasse-Prinzips für A.

Prinzip

Sha ist definiert als Kern der Lokalisierungsabbildung H^1(global, A) → ∏_v H^1(local_v, A) in der Galois-Kohomologie; Elemente repräsentieren Klassen, die überall lokal verschwinden, aber nicht notwendigerweise global.

Demonstration

Für eine elliptische Kurve E über Q entspricht ein Element von Sha einer Kurve, die über jede Vervollständigung Q_p und über R einen Punkt hat, aber keinen rationalen Punkt über Q; solche Torseure treten in Descente-Berechnungen auf und erscheinen als Hindernisse zur Darstellung eines globalen rationalen Punktes.

Fehlanwendung

Zu behaupten, Sha sei stets endlich oder allgemein berechenbar; das Versäumnis, vanishing oder non-vanishing von Sha in direkter Weise als vollständige Information über rationale Punkte zu deuten, ohne seine Beziehung zu Selmer-Gruppen und Descente-Verfahren zu berücksichtigen.

Konsequenz

Ist Sha endlich und bekannt, so quantifiziert es das Lokal-Global-Versagen und tritt in arithmetischen Formeln auf (z. B. als Faktor in vermuteten Formeln für Spezialwerte von L-Funktionen), und seine Struktur schränkt die Beziehung zwischen lokaler Lösbarkeit und globalen rationalen Punkten ein.

Umkehrung

Die Umkehr ist das triviale Sha (Sha=0), das aussagt, dass jeder lokal triviale Torseur global trivial ist und somit das Hasse-Prinzip für die betrachtete abelsche Varietät gilt.

Abgrenzung

Definiert für abelsche Varietäten über globalen Körpern mittels étaler oder Galois-Kohomologie in Grad eins; es beschreibt nicht direkt Obstruktionen höheren Grades oder nicht-abelsche Torseure, und viele grundlegende Fragen zu seiner Endlichkeit und Berechenbarkeit sind offen.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Sha als subtiler globaler Invariante, deren Endlichkeit oft vermutet wird, und der praktischen Verwendung berechenbarer Approximationen (Selmer-Gruppen), die Sha beschränken, aber sichtbare und unsichtbare Teile vermischen; die konzeptionelle Undurchsichtigkeit von Sha steht im Kontrast zur algorithmischen Natur seiner Approximationen.

Synthese

Die Tate–Shafarevich-Gruppe ist das kohomologische Behältnis für Torseure, die überall lokal trivial, aber möglicherweise global nicht trivial sind; sie dient als kanonisches Maß des Lokal-Global-Versagens für abelsche Varietäten und ist zentral für Descente und vermutete arithmetische Formeln.