Le théorème affirmant qu'il existe une infinité de nombres premiers ; classiquement démontré en construisant, à partir d'une liste finie de premiers, un entier qui possède un facteur premier absent de la liste.

Principe

La règle organisatrice est une preuve par construction montrant que tout ensemble fini de premiers peut être étendu : on forme le produit des premiers listés et on ajoute un (ou on modifie) pour forcer un nouveau facteur premier et contredire la finitude.

Démonstration

Exemple concret : pour les premiers 2, 3, 5 le produit est 30 et 30 + 1 = 31, qui est premier ; la liste finie ne contenait donc pas tous les premiers.

Mauvaise application

Erreur fréquente : conclure que le nombre (produit + 1) doit être premier dans tous les cas ; en général il peut être composé mais possède néanmoins des facteurs premiers extérieurs à la liste initiale.

Conséquence

Appliqué correctement, le théorème établit l'infinité des nombres premiers, soutenant de nombreux résultats sur la distribution des premiers et servant d'outil de base pour construire des preuves nécessitant de nouveaux facteurs premiers.

Inversion

L'inversion affirmerait qu'un ensemble fini de premiers suffit pour tous les entiers, ce qui écraserait la structure arithmétique ; nier la construction conduit directement à une contradiction car toute liste prétendument maximale peut être étendue.

Limite

Portée : concerne les nombres premiers dans les entiers ; il n'apporte pas d'information sur la fréquence d'apparition des premiers (densité), ni n'engendre une suite explicite de tous les premiers ni des bornes serrées sur les écarts.

Tension sémantique

Tension entre cette preuve constructive élémentaire et les approches analytiques (par ex. le produit d'Euler ou le théorème des nombres premiers) qui traitent de la densité et des comportements asymptotiques plutôt que de l'existence seule.

Synthèse

Le théorème d'Euclide est l'énoncé constructif élémentaire selon lequel les nombres premiers sont inépuisables : à toute collection finie on peut associer un entier ayant des diviseurs premiers extérieurs, prouvant l'infinité et renvoyant l'étude de la distribution à d'autres méthodes.