El teorema que afirma que existen infinitos números primos; probado clásicamente construyendo un nuevo entero a partir de cualquier lista finita de primos que produce un factor primo no contenido en la lista.

Principio

La idea organizadora es una prueba por construcción que muestra que cualquier conjunto finito de primos puede ser ampliado: multiplicar los primos listados y sumar uno (o modificar de otro modo) fuerza la aparición de un nuevo factor primo, contradiciendo la finitud.

Demostración

Ejemplo concreto: dados los primos 2, 3, 5, su producto es 30 y 30 + 1 = 31, que es primo; por tanto la lista finita no contenía todos los primos.

Aplicación incorrecta

Uso indebido común es concluir que el número (producto + 1) debe ser siempre primo; en general puede ser compuesto pero aún así tiene factores primos exteriores a la lista original.

Consecuencia

Aplicado correctamente, el teorema establece la infinitud de los primos, fundamenta muchos resultados sobre la distribución de primos y sirve como herramienta básica para construir pruebas que requieren factores primos nuevos.

Inversión

La inversión afirmaría que un conjunto finito de primos basta para todos los enteros, lo que colapsaría la estructura aritmética; negar la construcción conduce a contradicción porque cualquier lista supuestamente máxima puede extenderse.

Límite

Ámbito: se refiere a primos en los enteros; no proporciona información sobre la frecuencia con que aparecen (densidad), ni genera una secuencia explícita de todos los primos ni cotas ajustadas sobre los huecos.

Tensión semántica

Existe tensión entre esta prueba constructiva elemental y enfoques analíticos (p. ej., el producto de Euler o el teorema de los números primos) que abordan densidad y comportamiento asintótico en lugar de mera existencia.

Síntesis

El teorema de Euclides es la afirmación constructiva elemental de que los primos son inesgotables: de cualquier colección finita puede construirse un entero con divisores primos exteriores, probando la infinitud y dejando el estudio de la distribución a otros métodos.