Un entier positif n qui possède strictement plus de diviseurs positifs que tout entier positif plus petit ; autrement dit, pour tout m < n, τ(m) < τ(n) où τ désigne la fonction de comptage des diviseurs.

Principe

Classer les entiers selon leur nombre de diviseurs τ(n) : un nombre hautement composé est un maximum strict de τ sur les entiers positifs par rapport à tous les arguments plus petits.

Démonstration

12 est un exemple car τ(12)=6 (diviseurs 1,2,3,4,6,12) et chaque m<12 a moins de six diviseurs (par exemple τ(6)=4, τ(8)=4, τ(10)=4).

Mauvaise application

Qualifier arbitrairement un entier de hautement composé simplement parce qu'il a plusieurs facteurs premiers ou des facteurs petits, sans vérifier la comparaison stricte du nombre de diviseurs avec tous les entiers plus petits ; confondre avec des notions comme 'hautement abondant'.

Conséquence

Identifiés correctement, les nombres hautement composés servent de références pour la divisibilité ; ils interviennent naturellement dans des problèmes d'optimisation où un grand nombre de diviseurs est souhaitable (calendriers, tailles de grilles factorables, subdivision de périodes).

Inversion

La notion inverse est un entier qui minimise le nombre de diviseurs sur un intervalle (les nombres premiers minimisent souvent τ parmi les voisins) ; inverser l'inégalité donne des nombres exceptionnellement peu divisibles plutôt que très divisibles.

Limite

La définition ne concerne que les entiers positifs. Les égalités de nombre de diviseurs ne suffisent pas — l'inégalité doit être stricte pour tous les entiers plus petits. Cette classe diffère des notions proches comme 'superabondant' ou 'hautement abondant', qui comparent la somme des diviseurs plutôt que leur nombre.

Tension sémantique

Conflit conceptuel avec les notions de 'nombres lisses' (facteurs premiers bornés) et de classifications basées sur l'abondance ; un nombre peut être lisse sans être hautement composé, et inversement, ces termes soulignent des propriétés différentes liées aux diviseurs.

Synthèse

Un nombre hautement composé est un entier positif atteignant un nombre de diviseurs strictement supérieur à tout entier plus petit, ce qui en fait un extrême de divisibilité mesuré par la fonction de comptage des diviseurs.