Un entero positivo n que tiene estrictamente más divisores positivos que cualquier entero positivo menor; equivalente a decir que para todo m < n se cumple d(m) < d(n), donde d es la función de conteo de divisores.

Principio

Ordenar los enteros por su número de divisores d(n); un número altamente compuesto es un máximo estricto de d(n) sobre los enteros positivos respecto a todos los argumentos más pequeños.

Demostración

12 es altamente compuesto porque d(12)=6 (divisores 1,2,3,4,6,12) y todo m<12 tiene menos de seis divisores (por ejemplo, d(6)=4, d(8)=4, d(10)=4).

Aplicación incorrecta

Llamar altamente compuesto a un entero sólo por tener muchos factores primos o primos pequeños sin verificar la comparación estricta del número de divisores con todos los enteros menores; confundirlo con números 'altamente abundantes' que usan sumas de divisores.

Consecuencia

Identificados correctamente, los números altamente compuestos son puntos de referencia para la divisibilidad; aparecen en problemas de optimización donde conviene un gran número de divisores (calendarios, tamaños de mallas factorizables, subdivisión de periodos).

Inversión

La noción inversa es un entero que minimiza el número de divisores en un intervalo (los primos suelen minimizar d entre los vecinos); invertir la desigualdad produce números con inusualmente pocos divisores en lugar de muchos.

Límite

La definición se aplica sólo a enteros positivos. Los empates en el número de divisores no califican: se requiere desigualdad estricta frente a todos los enteros menores. Esta clase se distingue de términos relacionados como 'superabundante' o 'altamente abundante', que comparan sumas de divisores en lugar de cuentas.

Tensión semántica

Compite conceptualmente con 'números suaves' (factores primos acotados) y con clasificaciones basadas en abundancia; un número puede ser suave sin ser altamente compuesto, y viceversa, de modo que los términos enfatizan propiedades divisorias diferentes.

Síntesis

Un número altamente compuesto es un entero positivo que logra un conteo de divisores estrictamente mayor que cualquier entero menor, constituyendo un extremo de la divisibilidad según la función de conteo de divisores.