Un entier positif dont la somme des diviseurs propres positifs dépasse l'entier lui‑même.

Principe

Identifié par la condition s(n) > n où s(n) est la somme des diviseurs propres ; organise les entiers par un excès de masse divisorielle par rapport au nombre.

Démonstration

Exemple : 12 a pour diviseurs propres 1, 2, 3, 4, 6 qui somment à 16, donc 12 est abondant. De nombreux pairs sont abondants ; des impairs abondants existent mais sont plus rares.

Mauvaise application

Inclure le nombre lui‑même dans la somme des diviseurs propres (ce qui ferait passer des nombres parfaits pour abondants) ou confondre les nombres abondants avec les nombres étranges (abondants mais non semi‑parfaits).

Conséquence

La classification en nombres abondants éclaire les statistiques de la somme des diviseurs, les résultats de densité et l'étude des nombres semi‑parfaits ou étranges ; l'abondance influe sur des propriétés combinatoires et de partition des entiers.

Inversion

Le concept opposé est le nombre déficient (s(n) < n), tandis que les nombres parfaits occupent la frontière exacte (s(n) = n).

Limite

Ne concerne que les entiers positifs ; exclut les nombres parfaits (égalité) et déficients. La propriété dépend uniquement des diviseurs propres et non de l'ordre des facteurs ou de la représentation en nombres premiers, hormis ce qu'ils impliquent pour les diviseurs.

Tension sémantique

Tension avec la classe des nombres étranges (abondants mais non exprimables comme somme de diviseurs propres distincts) et avec des notions comme l'abondance multiple ; on peut se focaliser soit sur l'excès numérique soit sur la représentabilité de cet excès.

Synthèse

Un nombre abondant est celui dont les diviseurs propres pèsent collectivement plus que lui, le situant comme un excédent dans la taxonomie entre nombres parfaits et déficients, avec des raffinements tels que semi‑parfait ou étrange.