Une fonction multiplicative est une fonction arithmétique f vérifiant f(1)=1 et f(mn)=f(m)f(n) chaque fois que m et n sont premiers entre eux. Elle est déterminée par ses valeurs sur les puissances de nombres premiers.

Principe

La multiplicativité ramène le comportement global aux données locales sur les puissances de premiers : spécifier f(p^k) pour tout premier p et tout k ≥ 0 détermine f sur tous les entiers positifs par unicité de la factorisation.

Démonstration

La fonction indicatrice d'Euler φ(n) est multiplicative : φ(1)=1 et pour une puissance de premier φ(p^k)=p^k-p^{k-1} ; si m et n sont premiers entre eux, alors φ(mn)=φ(m)φ(n).

Mauvaise application

Supposer f(mn)=f(m)f(n) pour tous les m,n sans la condition de coprimalité confond multiplicatif et complètement multiplicatif et peut conduire à des produits d'Euler incorrects.

Conséquence

Les fonctions multiplicatives admettent des factorisations en produits d'Euler de leurs séries de Dirichlet lorsque les coefficients sont multiplicatifs, et leur étude se réduit souvent à la compréhension des valeurs en puissances de premiers et à des principes local-vers-global.

Inversion

Le renversement est une fonction arithmétique non multiplicative ou une fonction complètement multiplicative (qui renforce la relation à toutes les paires, pas seulement aux coprimes) ; les fonctions additives contrastent en remplaçant la multiplication par l'addition sur des arguments premiers entre eux.

Limite

Définie sur les entiers positifs avec la condition de coprimalité cruciale ; ne prescrit pas le comportement sur des arguments non premiers entre eux au-delà de l'extension multiplicative depuis les puissances de premiers ; la distinction avec complètement multiplicatif doit être conservée.

Tension sémantique

Souvent confondue avec 'complètement multiplicative' (f(mn)=f(m)f(n) pour tous m,n) et avec des homomorphismes du monoïde multiplicatif de N (qui n'est pas un groupe), d'où la nécessité d'hypothèses précises.

Synthèse

Une fonction multiplicative est une application arithmétique déterminée par ses valeurs sur les puissances de premiers qui se multiplie sur des entiers premiers entre eux, permettant des produits d'Euler et une analyse fondée sur la décomposition en facteurs premiers.