Definición
Una función multiplicativa es una función aritmética f con f(1)=1 y la propiedad f(mn)=f(m)f(n) siempre que m y n sean coprimos. Queda determinada por sus valores en potencias de primos.
Principio
Principio
La multiplicatividad reduce el comportamiento global a datos locales en potencias de primos: especificar f(p^k) para cada primo p y k ≥ 0 determina f en todos los enteros positivos mediante la factorización única.
Demostración
Demostración
La función phi de Euler φ(n) es multiplicativa: φ(1)=1 y para una potencia de primo φ(p^k)=p^k-p^{k-1}; si m y n son coprimos, φ(mn)=φ(m)φ(n).
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Asumir que f(mn)=f(m)f(n) para todos m,n sin la condición de coprimalidad confunde multiplicativa con completamente multiplicativa y puede provocar productos de Euler incorrectos.
Consecuencia
Consecuencia
Las funciones multiplicativas admiten factorizaciones en productos de Euler de sus series de Dirichlet cuando los coeficientes son multiplicativos, y su estudio suele reducirse a entender valores en potencias de primos y principios local-a-global.
Inversión
Inversión
La inversión es una función aritmética no multiplicativa o una función completamente multiplicativa (que fortalece la relación para todos los pares); las funciones aditivas contrastan sustituyendo la multiplicación por la adición en argumentos coprimos.
Límite
Límite
Definida sobre los enteros positivos con la condición de coprimalidad crucial; no impone comportamiento en argumentos no coprimos más allá de la extensión multiplicativa desde las potencias de primos; hay que mantener la distinción con completamente multiplicativa.
Tensión semántica
Tensión semántica
A menudo se confunde con 'completamente multiplicativa' (f(mn)=f(m)f(n) para todos m,n) y con homomorfismos del monoid multiplicativo de N (que no es un grupo), por lo que las hipótesis deben ser precisas.
Síntesis
Síntesis
Una función multiplicativa es una aplicación aritmética determinada por sus valores en potencias de primos que se multiplica sobre enteros coprimos, permitiendo productos de Euler y análisis basado en la factorización prima en teoría multiplicativa de números.