Un domaine de Dedekind est un domaine intègre qui est noethérien, intégralement clos dans son corps des fractions et de dimension de Krull égale à un ; équivalemment, tout idéal non nul et propre se factorise de façon unique en produit d'idéaux premiers. Les domaines de Dedekind fournissent le cadre naturel pour la factorisation d'idéaux en théorie algébrique des nombres.

Principe

La dimension locale unidimensionnelle jointe à la clôture intégrale et à la condition noethérienne contraignent les idéaux à se comporter comme des entiers pour la factorisation unique en idéaux premiers, remplaçant la factorisation unique au niveau des éléments lorsque celle-ci échoue.

Démonstration

L'anneau des entiers d'un corps de nombres est un exemple classique : les idéaux non nuls se factorisent de façon unique en idéaux premiers, et là où les éléments peuvent échouer à se factoriser de façon unique en irréductibles, les idéaux se décomposent néanmoins de façon unique, donnant naissance au groupe des classes d'idéaux.

Mauvaise application

Confondre domaines de Dedekind et domaines à factorisation unique (UFD) ; un domaine de Dedekind n'est pas nécessairement un UFD et les éléments peuvent manquer de factorisation unique bien que les idéaux se factorisent.

Conséquence

Dans un domaine de Dedekind tout idéal fractionnaire non nul est inversible et l'ensemble des idéaux fractionnaires non nuls forme un groupe abélien ; le quotient par les idéaux fractionnaires principaux définit le groupe des classes d'idéaux, dont la trivialité caractérise les PIDs parmi les domaines de Dedekind.

Inversion

Inverser la définition donne des anneaux où les idéaux ne se factorisent pas de façon unique (anneaux de dimension supérieure ou non intégralement clos), rendant l'arithmétique des idéaux plus compliquée et sapant la structure de groupe des idéaux inversibles.

Limite

La définition suppose le contexte d'un domaine intègre et les hypothèses noethérienne, intégralement close et de dimension un ; de nombreux anneaux utiles (anneaux de dimension supérieure, non noethériens, anneaux avec diviseurs de zéro) sont exclus de cette classe.

Tension sémantique

Domaine de Dedekind versus UFD : les deux contrôlent la factorisation mais à des niveaux distincts (idéaux contre éléments) ; domaine de Dedekind versus PID : tout PID est Dedekind mais la réciproque est fausse, la principalité des idéaux étant une condition plus forte.

Synthèse

Un domaine de Dedekind est un domaine noethérien intègre, intégralement clos et de dimension un où tout idéal non nul se factorise de façon unique en idéaux premiers ; il rétablit une théorie multiplicative des idéaux qui compense l'échec éventuel de la factorisation des éléments et fonde la formalisation du groupe des classes.