Un dominio de Dedekind es un dominio íntegro que es noetheriano, está íntegramente cerrado en su cuerpo de fracciones y tiene dimensión de Krull uno; equivalentemente, todo ideal propio no nulo se factoriza de forma única como producto de ideales primos. Los dominios de Dedekind son el marco natural para la factorización de ideales en teoría de números algebraicos.

Principio

La condición local de dimensión uno junto con el cierre integral y la condición noetheriana obligan a que los ideales se comporten como los enteros respecto a la factorización única en ideales primos, sustituyendo la factorización de elementos cuando ésta falla.

Demostración

El anillo de enteros de un cuerpo numérico es un ejemplo clásico: los ideales no nulos se factorizarán de modo único en ideales primos, y cuando los elementos pueden fallar en factorizarse de forma única en irreducibles, los ideales sí se descomponen de forma única, dando lugar al grupo de clases de ideales.

Aplicación incorrecta

Confundir dominios de Dedekind con dominios de factorización única (UFD); un dominio de Dedekind no tiene por qué ser UFD y los elementos pueden carecer de factorización única aunque los ideales lo tengan.

Consecuencia

En un dominio de Dedekind todo ideal fraccionario no nulo es invertible y el conjunto de ideales fraccionarios no nulos forma un grupo abeliano; el cociente por los ideales fraccionarios principales define el grupo de clases, cuya trivialidad caracteriza a los PID entre los dominios de Dedekind.

Inversión

Invertir la definición conduce a anillos cuyos ideales no se factorizan de forma única (anillos de dimensión superior o no enteramente cerrados), complicando la aritmética de ideales y socavando la estructura de grupo de los ideales invertibles.

Límite

La definición presupone un dominio íntegro y las hipótesis noetheriana, cerrado integralmente y de dimensión uno; muchos anillos útiles (anillos de dimensión mayor, no noetherianos, anillos con divisores de cero) quedan fuera de esta clase.

Tensión semántica

Dominio de Dedekind versus UFD: ambos controlan la factorización pero en niveles distintos (ideales frente a elementos); dominio de Dedekind versus PID: todo PID es Dedekind pero no viceversa, la principialidad de los ideales es una condición más fuerte.

Síntesis

Un dominio de Dedekind es un dominio noetheriano íntegramente cerrado y de dimensión uno en el que todo ideal no nulo se factoriza de forma única en ideales primos; restablece una teoría multiplicativa de ideales que compensa el posible fracaso de la factorización a nivel de elementos y sustenta la formalización del grupo de clases.