Un idéal d'un anneau R engendré par un seul élément a dans R, noté (a), constitué de tous les multiples r·a (ou a·r) avec r dans R. Les idéaux principaux sont les idéaux les plus simples et sont centraux dans l'étude des domaines à idéaux principaux.

Principe

L'engendrement par un seul élément réduit la structure de l'idéal au comportement algébrique d'un générateur modulo la multiplication par des éléments de l'anneau ; dans les anneaux où chaque idéal est principal, les questions idéales se ramènent à l'arithmétique des éléments à unités près.

Démonstration

Dans Z l'idéal engendré par 6 est (6) = 6Z, qui contient exactement les entiers divisibles par 6. Dans l'anneau de polynômes k[x] l'idéal (x) comprend tous les polynômes dont le terme constant est nul.

Mauvaise application

Supposer que parce que certains idéaux importants sont principaux dans des exemples (comme Z ou k[x]) tout idéal dans tout anneau est principal ; confondre 'idéal principal' avec 'domaine à idéaux principaux' (propriété de l'anneau).

Conséquence

Lorsque les idéaux sont principaux, de nombreux calculs se simplifient : multiplication d'idéaux, inclusion et plus grands diviseurs communs se suivent via les générateurs et les unités, et le groupe des classes s'annule dans les domaines où tout idéal non nul est principal.

Inversion

La situation opposée est celle des idéaux non principaux qui nécessitent plusieurs générateurs et dont les propriétés de multiplication et d'inversion peuvent être plus compliquées ; ces idéaux témoignent de l'échec d'un anneau à être un domaine à idéaux principaux.

Limite

Un idéal principal est un idéal particulier engendré par un seul élément ; la propriété 'principale' s'applique aux idéaux individuels, tandis que 'domaine à idéaux principaux' est une propriété globale de l'anneau. En non commutatif il faut distinguer idéaux principaux à gauche et à droite.

Tension sémantique

Idéal principal versus idéal engendré par plusieurs éléments : les deux sont des idéaux, mais le premier admet un unique générateur à unités près ; idéal principal versus élément principal : un même idéal peut être engendré par des générateurs différents ne différant que par une unité.

Synthèse

Un idéal principal est l'idéal formé par tous les multiples d'un élément ; lorsque chaque idéal a cette forme, la théorie des idéaux de l'anneau se réduit à l'arithmétique des éléments, tandis que les idéaux non principaux révèlent une structure multiplicative plus riche.