Un ideal de un anillo R generado por un solo elemento a en R, denotado (a), consistente en todos los múltiplos r·a (o a·r) con r en R. Los ideales principales son los más sencillos y son centrales en el estudio de dominios de ideales principales.

Principio

La generación por un solo elemento comprime la estructura del ideal al comportamiento algebraico de un generador respecto de la multiplicación por elementos del anillo; en dominios donde todo ideal es principal, las preguntas ideálicas se reducen a la aritmética de elementos hasta unidades.

Demostración

En Z el ideal generado por 6 es (6) = 6Z, que contiene exactamente los enteros divisibles por 6. En el anillo de polinomios k[x] el ideal (x) consta de todos los polinomios con término constante cero.

Aplicación incorrecta

Asumir que porque en ejemplos importantes los ideales son principales (como Z o k[x]) todos los ideales en cualquier anillo son principales; confundir 'ideal principal' con 'dominio de ideales principales' (propiedad del anillo).

Consecuencia

Cuando los ideales son principales muchas operaciones se simplifican: multiplicación de ideales, contención y máximos comunes se rastrean mediante generadores y unidades, y el grupo de clases es trivial en dominios donde todo ideal no nulo es principal.

Inversión

La situación opuesta son los ideales no principales que requieren múltiples generadores y cuyas propiedades de multiplicación e inversión pueden ser más complejas; tales ideales evidencian el fallo de un anillo en ser un PID.

Límite

Un ideal principal es un ideal específico generado por un único elemento; la propiedad 'principal' se aplica a ideales concretos, mientras que 'dominio de ideales principales' es una propiedad global del anillo. En no conmutativo hay que distinguir ideales principales izquierdos y derechos.

Tensión semántica

Ideal principal versus ideal generado por varios elementos: ambos son ideales, pero el primero admite un generador único a unidades de diferencia; ideal principal versus elemento generador: un mismo ideal puede tener distintos generadores que difieran por una unidad.

Síntesis

Un ideal principal es el conjunto de todos los múltiplos de un elemento; cuando todo ideal es así, la teoría de ideales del anillo se reduce a la aritmética de elementos, mientras que los ideales no principales indican una estructura multiplicativa más rica.