Un sous-ensemble I d'un anneau R qui est un sous-groupe additif de R et qui est stable par multiplication par des éléments arbitraires de R (r·x et x·r appartiennent à I pour r dans R et x dans I). Les idéaux codent la divisibilité, les congruences et la structure de factorisation de l'anneau ambiant et sont les noyaux d'homomorphismes d'anneaux.

Principe

Un idéal regroupe des éléments indiscernables modulo une relation de divisibilité ou de congruence ; la stabilité par multiplication garantit la compatibilité avec l'action de l'anneau de sorte que la quotientation par l'idéal donne un anneau.

Démonstration

Dans Z, pour tout entier n l'ensemble nZ = {..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...} est un idéal : il est stable par addition et par multiplication par un entier quelconque, et Z/nZ est l'anneau quotient familier des classes de restes modulo n.

Mauvaise application

Considérer tout sous-groupe additif d'un anneau comme un idéal sans vérifier la stabilité multiplicative, ou supposer que tout idéal est engendré par un seul élément dans un anneau non principal.

Conséquence

Pour un idéal propre I, l'anneau quotient R/I est défini et les propriétés idéales (premier, maximal, primaire) se traduisent en propriétés algébriques de ce quotient ; les idéaux premiers correspondent à des quotients intègres et les idéaux maximaux à des corps.

Inversion

La notion inverse est un sous-ensemble S de R fermé pour la multiplication, utilisé pour localiser R ; au lieu d'identifier des éléments par addition on inverse des éléments et on agrandit l'anneau.

Limite

Ici 'idéal' est employé au sens bilatère adapté aux anneaux commutatifs unitaires ; en anneau non commutatif il faut distinguer idéaux à gauche, à droite et bilatères. Un idéal n'est pas un sous-anneau sauf s'il contient 1, et les idéaux dans les anneaux à diviseurs de zéro se comportent différemment que dans les domaines intègres.

Tension sémantique

Idéal versus sous-module : tout idéal de R est un R-sous-module de R, mais 'sous-module' est une notion modulaire plus vaste et n'implique pas l'absorption multiplicative ; idéal versus quotient : un idéal est une sous-structure, le quotient met l'accent sur la nouvelle structure d'anneau obtenue.

Synthèse

Un idéal est un sous-groupe additif d'un anneau qui absorbe la multiplication par les éléments de l'anneau, codant ainsi congruences et divisibilités ; il permet de former des quotients et de classer le comportement algébrique tout en exigeant la prudence quant aux distinctions gauche/droite hors du cadre commutatif.