Un subconjunto I de un anillo R que es un subgrupo aditivo de R y que está cerrado bajo multiplicación por elementos arbitrarios de R (r·x y x·r pertenecen a I para r en R y x en I). Los ideales codifican divisibilidad, congruencia y estructura de factorización del anillo ambiente y son los núcleos de homomorfismos de anillos.

Principio

Un ideal organiza elementos que son indistinguibles según una relación de divisibilidad o congruencia; el cierre frente a la multiplicación asegura compatibilidad con la acción del anillo de modo que al tomar el cociente por el ideal se obtiene otro anillo.

Demostración

En los enteros Z, para un entero n el conjunto nZ = {..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...} es un ideal: cerrado bajo suma y bajo multiplicación por cualquier entero; Z/nZ es el anillo cociente habitual de clases residuales módulo n.

Aplicación incorrecta

Tratar cualquier subgrupo aditivo de un anillo como ideal sin comprobar el cierre multiplicativo, o asumir que todo ideal es generado por un solo elemento en un dominio no principal.

Consecuencia

Dado un ideal propio I, el anillo cociente R/I está bien definido y las propiedades ideales (primo, maximal, primario) se traducen en propiedades algebraicas de ese cociente; los ideales primos corresponden a dominios íntegros en los cocientes y los ideales maximales a cuerpos.

Inversión

La noción invertida es un subconjunto S de R cerrado multiplicativamente, que se usa para localizar R; en lugar de colapsar elementos por adición, la localización invierte elementos y amplía el anillo.

Límite

Aquí 'ideal' se usa en el sentido bilateral propio de anillos conmutativos con unidad; en anillos no conmutativos hay que distinguir ideales izquierdos, derechos y bilaterales. Un ideal no es un subanillo salvo que contenga 1, y los ideales en anillos con divisores de cero se comportan de forma distinta que en dominios íntegros.

Tensión semántica

Ideal versus submódulo: todo ideal de R es un submódulo R de R, pero 'submódulo' es más general y puede no reflejar la absorción multiplicativa; ideal versus cociente: el ideal es el subconjunto, el cociente enfatiza la nueva estructura de anillo obtenida.

Síntesis

Un ideal es un subgrupo aditivo de un anillo que absorbe la multiplicación por elementos del anillo, codificando congruencias y divisibilidades; permite formar cocientes y clasificar el comportamiento algebraico, con atención a las distinciones izquierda/derecha fuera del caso conmutativo.