Une singularité canonique de surface dans l'espace tridimensionnel obtenue comme image d'une application du plan qui se replie et s'auto-intersecte le long d'une courbe se terminant en un point de pincement ; une paramétrisation standard est (u,v) ↦ (u, uv, v^2).

Principe

Survient lorsque l'application cesse d'être une immersion parce que la différentielle perd du rang le long d'une courbe, produisant une feuille unilatérale qui s'auto-intersecte et se termine en un point isolé de pincement ; la singularité combine pliage et auto-intersection de façon caractéristique.

Démonstration

La surface paramétrée (u,v) → (u, u v, v^2) dans R^3 possède une auto-intersection le long de la droite {v=0, u arbitraire} qui se termine à l'origine, point de pincement ; localement on observe une feuille repliée rencontrant son propre bord avec un point terminal.

Mauvaise application

Qualifier toute auto-intersection de surface de parapluie de Whitney — par exemple appeler parapluie de Whitney une courbe d'auto-intersection transverse sans point terminal — ignore le caractère définitoire du point de pincement et de la perte de rang.

Conséquence

Reconnaître un parapluie de Whitney implique la présence d'un point de pincement et d'un lieu non immersif ; topologiquement cela empêche une plongée locale à deux faces et influence la classification des germes d'applications et les phénomènes locaux de lissage.

Inversion

Si la courbe d'auto-intersection ne se termine pas et que l'application reste une immersion sauf en des points doubles transverses, la singularité n'est pas un parapluie de Whitney mais une autre singularité d'immersion (par exemple une cross-cap ou une courbe double transverse).

Limite

S'applique aux images locales de germes d'applications du plan vers l'espace dont la différentielle perd du rang le long d'une courbe se terminant en un point de pincement isolé ; exclut les courbes d'auto-intersection transverses sans extrémité et les nœuds purement algébriques sur des surfaces sans perte de rang.

Tension sémantique

Souvent confondu avec la cross-cap car les deux impliquent un comportement non immersif et des intersections unilatérales ; le parapluie de Whitney se distingue par une courbe d'auto-intersection qui se termine en un point de pincement et par un profil de perte de rang caractéristique.

Synthèse

Le parapluie de Whitney est le modèle local d'une surface repliée dans l'espace tridimensionnel dont la différentielle perd du rang le long d'une courbe aboutissant en un pincement : une feuille auto-intersectante et unilatérale avec une singularité terminale qui gouverne les propriétés locales d'immersion et de lissage.