Una singularidad canónica de superficie en el espacio tridimensional obtenida como imagen de una aplicación desde el plano que se pliega y se autointersecta a lo largo de una curva que termina en un punto de pinzamiento; una parametrización estándar es (u,v) ↦ (u, uv, v^2).

Principio

Ocurre cuando la aplicación deja de ser una inmersión porque la diferencial pierde rango a lo largo de una curva, produciendo una lámina unilaterales que se autointersecta y termina en un punto aislado de pinzamiento; la singularidad combina plegado y autointersección de manera característica.

Demostración

La superficie parametrizada (u,v) → (u, u v, v^2) en R^3 presenta una autointersección a lo largo de la línea {v=0, u arbitrario} que termina en el origen, que es el punto de pinzamiento; localmente se observa una lámina plegada que se encuentra a sí misma con un extremo.

Aplicación incorrecta

Describir toda autointersección de superficie como un paraguas de Whitney —por ejemplo llamar paraguas de Whitney a una curva de autointersección transversal sin punto terminal— ignora la propiedad definitoria del punto de pinzamiento y la pérdida de rango.

Consecuencia

Reconocer un paraguas de Whitney implica la presencia de un punto de pinzamiento y un lugar no inmersivo; topológicamente impide una inmersión local de dos caras y afecta la clasificación de gérmenes de mapas y los fenómenos locales de suavizado.

Inversión

Si la curva de autointersección no termina y la aplicación sigue siendo una inmersión salvo en puntos dobles transversales, la singularidad no es un paraguas de Whitney sino otra singularidad de inmersión (por ejemplo una cross-cap o una curva doble transversal).

Límite

Se aplica a imágenes locales de gérmenes plano→espacio cuya diferencial pierde rango a lo largo de una curva que termina en un punto de pinzamiento aislado; excluye curvas de autointersección transversales sin extremo y nudos puramente algebraicos en superficies sin pérdida de rango.

Tensión semántica

A menudo se confunde con la cross-cap porque ambas implican comportamiento no inmersivo e intersecciones unilaterales; el paraguas de Whitney se distingue por una curva de autointersección que termina en un punto de pinzamiento y un perfil característico de pérdida de rango.

Síntesis

El paraguas de Whitney es el modelo local de una superficie plegada en el espacio tridimensional cuya diferencial pierde rango a lo largo de una curva que culmina en un pinzamiento: una lámina autointersectante y unilaterales con una singularidad terminal que condiciona las propiedades locales de inmersión y suavizado.