Une singularité de courbe plane où deux branches lisses distinctes se rencontrent avec une tangence d'ordre supérieur (oscultation), de sorte qu'elles partagent la même direction tangente et ont une multiplicité d'intersection strictement supérieure à deux ; modèle local standard y^2 = x^4 ou deux branches avec contact d'ordre deux.

Principe

Contact d'ordre supérieur entre deux branches lisses : les tangentes coïncident et la multiplicité d'intersection dépasse la valeur transverse, engendrant un comportement de croisement dégénéré qui influence la déformation et la résolution locale.

Démonstration

La courbe plane affine définie par y^2 − x^4 = 0 possède deux branches lisses se rencontrant à l'origine avec une tangence d'ordre deux ; des perturbations peuvent scinder le tacnode en plusieurs nœuds selon la déformation choisie.

Mauvaise application

Prendre toute intersection non simple pour un tacnode — par exemple confondre une cuspide (une seule branche avec dérivée nulle) ou un point double ordinaire avec un tacnode ignore la propriété distinctive de deux branches en oscillation.

Conséquence

Les tacnodes portent des invariants locaux plus élevés (par ex. contributions δ plus grandes) et nécessitent des procédures de résolution locales plus compliquées que les points doubles ordinaires ; leur présence affecte plus fortement la théorie des déformations et des modules.

Inversion

Si les deux branches sont transverses (tangentes distinctes), la singularité est un point double ordinaire plutôt qu'un tacnode ; s'il n'y a qu'une seule branche avec une auto-singularité, il s'agit d'une cuspide, pas d'un tacnode.

Limite

S'applique aux singularités planes isolées formées par deux branches ayant la même tangente et un contact d'ordre ≥ 2 ; exclut les singularités à branche unique (cuspidales), les intersections non isolées et les groupements de plus de deux branches de plus haute multiplicité.

Tension sémantique

Se confond parfois avec 'cuspide' et 'nœud' dans l'usage courant ; le tacnode est spécifiquement un phénomène à deux branches caractérisé par l'oscultation, tandis que la cuspide est mono-branche et le nœud est un deux-branche transverse.

Synthèse

Le tacnode est la singularité dégénérée à deux branches d'une courbe plane où les branches s'osculent : tangentes identiques et ordre de contact élevé, entraînant un comportement de déformation et de résolution distinct des nœuds et des cuspides.