Eine ebenen Kurvensingularität, bei der sich zwei verschiedene glatte Zweige mit höhergradiger Tangentialität (Osculation) treffen, sodass sie dieselbe Tangente teilen und die Schnittmultiplizität größer als zwei ist; ein Standardmodell ist y^2 = x^4 oder zwei Zweige mit Kontaktordnung zwei.

Prinzip

Höhergradiger Kontakt zwischen zwei glatten Zweigen: Tangenten stimmen überein und die Schnittmultiplizität übersteigt den transversalen Wert, was ein degeneriertes Kreuzungsverhalten erzeugt und Deformations- sowie Auflösungsmuster beeinflusst.

Demonstration

Die affine Ebenenkurve y^2 − x^4 = 0 hat zwei glatte Zweige, die sich am Ursprung mit Tangentialität zweiter Ordnung treffen; Störungen können den Tacnode je nach Deformation in mehrere Knoten zerlegen.

Fehlanwendung

Jede nicht-einfache Kreuzung als Tacnode zu bezeichnen — beispielsweise einen Spitzpunkt (Cusp) oder eine gewöhnliche Doppelstelle mit einem Tacnode zu verwechseln — übersieht die Kennzeichnung als Zwei-Zweig-Osculation.

Konsequenz

Tacnodes haben größere lokale Invarianten (z. B. höhere Beiträge zur δ-Invariante) und erfordern aufwändigere lokale Auflösungsverfahren als gewöhnliche Doppelstellen; ihr Vorkommen beeinflusst Modulräume und Glättungsverhalten stärker.

Umkehrung

Sind die beiden Zweige transversal (verschiedene Tangenten), handelt es sich um eine gewöhnliche Doppelstelle und nicht um einen Tacnode; besteht nur ein Zweig mit Eigensingularität, ist es ein Cusp, kein Tacnode.

Abgrenzung

Gilt für isolierte ebenen Kurvensingularitäten aus zwei Zweigen mit gemeinsamer Tangente und Kontaktordnung ≥ 2; schließt Ein-Zweig-Singularitäten (Cusps), nicht isolierte Schnittpunkte und Cluster mit mehr als zwei Zweigen höherer Multiplizität aus.

Semantische Spannung

Wird im alltäglichen Sprachgebrauch leicht mit 'Cusp' und 'Knoten' verwechselt; Tacnode bezeichnet explizit ein Zwei-Zweig-Phänomen mit Oszulation, während Cusp eine Einzelzweig-Entwicklung und Knoten eine transversale Zwei-Zweig-Schnittstelle beschreibt.

Synthese

Ein Tacnode ist die degenerierte Zwei-Zweig-Singularität einer ebenen Kurve, bei der sich die Zweige oskulieren: identische Tangenten und erhöhter Kontaktorder führen zu charakteristischem Deformations- und Auflösungsverhalten, das sich von Knoten und Cusps unterscheidet.