Porisme classique concernant deux cercles non sécants (une couronne) qui affirme que si, pour un choix de cercle de départ, il existe une chaîne fermée de n cercles tangents deux à deux inscrite entre les deux cercles donnés, alors une telle chaîne fermée existe pour tout choix de cercle de départ dans l'anneau.

Principe

Invariance d'incidence : la propriété de fermeture d'une chaîne de cercles tangents entre deux cercles coaxiaux fixés est indépendante du cercle initial dès qu'une chaîne fermée existe, reflétant une contrainte géométrique intégrable sous-jacente.

Démonstration

Construire deux cercles concentriques non sécants et inscrire autour du cercle intérieur une chaîne de cercles tangents égaux touchant le cercle extérieur ; lorsqu'une chaîne n‑fermée existe pour une position, elle se fait tourner continûment pour obtenir des chaînes fermées pour toute position de départ dans l'anneau.

Mauvaise application

Prétendre que le porisme vaut lorsque les cercles intérieur et extérieur se coupent, sont tangents, ou lorsque les cercles insérés ne sont pas tangents consécutivement ; ou traiter le porisme comme portant sur des courbes emboîtées quelconques au lieu de cercles coaxiaux.

Conséquence

Donne une famille à un paramètre de chaînes tangentes fermées et montre que certaines configurations d'empilement de cercles sont rigides quant à leur propriété de fermeture ; informe les constructions par inversion et se relie aux transformations de Möbius.

Inversion

Le point de vue inverse met l'accent sur l'échec de fermeture : si aucune chaîne fermée n'existe pour un quelconque cercle de départ, alors aucune chaîne ne se ferme ; inverser le porisme met en lumière la dépendance vis‑à‑vis de la position relative des cercles plutôt que des données initiales arbitraires.

Limite

S'applique à des configurations de deux cercles disjoints dans le plan euclidien (ou à leurs images par transformations de Möbius) ; sont exclus les cercles sécants ou confondus, les contours non circulaires et les chaînes qui ne préservent pas l'ordre de tangence.

Tension sémantique

Concepts voisins : empilements de cercles d'Apollonius et porismes de Poncelet ; la tension réside entre l'invariance de fermeture de Steiner (chaînes de cercles tangents) et la fermeture polygonale de Poncelet (polygones tangents et circonscrits), analogues mais distincts par les objets et invariants considérés.

Synthèse

Le Porisme de Steiner exprime une rigidité géométrique : dès qu'une chaîne circulaire tangent fermée existe entre deux cercles disjoints, l'anneau admet une famille continue de telles chaînes fermées, révélant une propriété invariante de fermeture lors du déplacement du cercle de départ.