Théorème d'un triangle affirmant que la bissectrice interne issue du sommet A et rencontrant BC coupe BC en D de sorte que BD/DC = AB/AC.

Principe

Idée organisatrice : une bissectrice d'angle conserve des rapports de longueurs des côtés opposés ; autrement dit la bissectrice interne crée des triangles semblables qui imposent des proportions sur le côté opposé.

Démonstration

Soit ABC tel que AB=6 et AC=9 ; la bissectrice interne de l'angle A rencontre BC en D alors BD/DC = 6/9 = 2/3. Si BC mesure 15, BD = (2/5)·15 = 6 et DC = 9, ce qui respecte le rapport des côtés adjacents.

Mauvaise application

Appliquer la formule de la bissectrice interne à la bissectrice externe sans tenir compte du signe, ou utiliser le théorème pour conclure qu'un segment divisant BC selon AB:AC passe nécessairement par A sans vérifier la colinéarité (la réciproque existe mais nécessite une vérification).

Conséquence

Permet de construire précisément des points de division sur un côté à partir des longueurs des côtés adjacents, fournit une méthode directe de calcul de longueurs en géométrie triangulaire et s'intègre aux raisonnements de type Ceva ou Menelaus.

Inversion

La bissectrice externe donne le théorème de la bissectrice externe : elle divise le côté opposé de façon externe selon le rapport des côtés adjacents, i.e. BD/DC = -AB/AC en convention de segments orientés ; la division proportionnelle peut réciproquement caractériser une bissectrice si la colinéarité est assurée.

Limite

Valide pour les triangles non dégénérés et pour les bissectrices internes ; dans des configurations dégénérées ou colinéaires l'énoncé est sans objet. Le théorème interne diffère de la version externe et des énoncés plus généraux sur le partage de côtés dans les polygones.

Tension sémantique

Tension avec le théorème de Ceva et celui de Menelaus pour les caractérisations par rapports : la bissectrice d'angle donne une proportion locale, tandis que Ceva/Menelaus traitent de la concurrence ou colinéarité via produits de rapports.

Synthèse

Le théorème de la bissectrice d'angle relie la division angulaire au sommet à une division précise du côté opposé : couper un angle en deux impose un rapport de segments égal aux longueurs des côtés adjacents, résultat utilisé fréquemment pour calculs et arguments de proportionnalité.