Teorema del triángulo que establece que la bisectriz interna del ángulo en vértice A, que corta BC en D, divide BC en segmentos proporcionales a los lados adyacentes: BD/DC = AB/AC.

Principio

Idea organizadora: una bisectriz conserva razones de las longitudes de los lados opuestos; en concreto la bisectriz interna genera triángulos semejantes que obligan a proporciones en el lado opuesto.

Demostración

En el triángulo ABC con AB=6 y AC=9, la bisectriz interna de A se encuentra en D con BD/DC = 6/9 = 2/3. Si BC mide 15, BD = (2/5)·15 = 6 y DC = 9, coherente con el cociente de lados adyacentes.

Aplicación incorrecta

Aplicar la fórmula de la bisectriz interna a la bisectriz externa sin tener en cuenta signos, o afirmar que cualquier división de BC según AB:AC pasa por A sin comprobar la colinealidad (la recíproca existe pero requiere verificación).

Consecuencia

Permite construir puntos de división en un lado a partir de longitudes vecinas, proporciona métodos directos de cálculo en geometría triangular e interactúa con argumentos tipo Ceva o Menelaus.

Inversión

La bisectriz externa produce el teorema de bisectriz externa: divide externamente el lado opuesto según la razón de los lados adyacentes, es decir BD/DC = -AB/AC bajo segmentos orientados; la división proporcional puede caracterizar una bisectriz si se conoce la colinealidad.

Límite

Válido para triángulos no degenerados y para bisectrices internas; en configuraciones degeneradas o colineales la afirmación carece de sentido. El teorema interno difiere de la versión externa y de afirmaciones más generales de división en polígonos.

Tensión semántica

Tensión con los teoremas de Ceva y Menelaus en caracterizaciones por razones: la bisectriz da una proporcionalidad local, mientras Ceva/Menelaus tratan concurrencia o colinealidad mediante productos de razones.

Síntesis

El teorema de la bisectriz relaciona el corte angular en un vértice con una división precisa del lado opuesto: bisecar un ángulo impone una razón de segmentos igual a las longitudes de los lados adyacentes, útil para cálculos y argumentos de proporcionalidad.