La proportion de l'espace ambiant occupée par un empilement de corps congruents (souvent des sphères) dans un arrangement donné ou optimal ; formellement la limite (ou lim sup) de la fraction de volume occupé dans des régions de grande taille.

Principe

Mesurer la fraction du volume de Lebesgue couverte par des translations disjointes (et des rotations, si autorisées) des corps à l'intérieur de domaines de plus en plus grands, puis prendre le suprémum sur tous les arrangements admissibles pour définir la densité optimale ; les empilements périodiques et en réseau donnent des minorants constructifs.

Démonstration

Dans le plan, l'empilement le plus dense de cercles congruents est le réseau hexagonal (triangulaire) avec densité π/(2√3) ≈ 0,9069. En R^3 l'empilement de sphères le plus dense a densité π/(3√2) ≈ 0,74048 réalisé par les empilements cubique à faces centrées ou hexagonal compact.

Mauvaise application

Interpréter des amas locaux denses dans un contenant fini comme densité optimale globale, ou comparer des densités de corps non congruents ou déformables sans normalisation ; supposer l'optimalité des réseaux sans examiner les constructions non-réseau ou apériodiques.

Conséquence

Quantifie la porosité des matériaux et l'efficacité d'empilement, fournit des bornes pour des problèmes de recouvrement et de transport, et impose des contraintes en géométrie discrète et science des matériaux ; les densités optimales caractérisent les arrangements extrémaux et leur symétrie.

Inversion

Le problème complémentaire est la densité de recouvrement, qui demande quelle part de recouvrement (chevauchement) est nécessaire pour que des translations des corps couvrent l'espace ; la porosité ou fraction de vide est égale à 1 moins la densité d'empilement et renverse la perspective plein/vide.

Limite

Définie pour des empilements dans des espaces métriques munis d'une mesure de volume ; dépend de la classe de congruence des corps et des mouvements autorisés (translations seulement ou translations et rotations). Pour des contenants finis, les effets de bord sont significatifs et la densité asymptotique peut ne pas s'appliquer.

Tension sémantique

Lien étroit et confusion fréquente avec la densité de recouvrement, la fraction d'empilement en configurations aléatoires lâches/compactes, et avec les configurations locales les plus denses ; la distinction réseau/non-réseau et déterministe/probabiliste crée des notions concurrentes d'optimalité.

Synthèse

La densité d'empilement est la fraction asymptotique de volume remplie par des copies disjointes d'un corps donné dans le meilleur agencement autorisé ; elle mesure l'efficacité globale de remplissage, distingue optimisateurs en réseau et non-réseau, et relie géométrie discrète et phénomènes physiques d'empilement.