La proporción del espacio ambiente ocupada por un empaquetamiento de cuerpos congruentes (a menudo esferas) en un arreglo dado o en el arreglo óptimo; formalmente es el límite (o lim sup) de la fracción de volumen ocupado en regiones grandes.

Principio

Medir la fracción del volumen de Lebesgue cubierta por traslaciones disjuntas (y rotaciones, si se permiten) de los cuerpos dentro de dominios crecientes y tomar el supremo sobre todas las disposiciones admisibles para definir la densidad de empaquetamiento óptima; los empaquetamientos periódicos y en red dan cotas inferiores constructivas.

Demostración

En el plano, el empaquetamiento más denso de círculos congruentes es la red hexagonal con densidad π/(2√3) ≈ 0,9069. En R^3 el empaquetamiento de esferas más denso tiene densidad π/(3√2) ≈ 0,74048, logrado por empaquetamientos cúbico centrado en las caras o hexagonal compacto.

Aplicación incorrecta

Interpretar cúmulos locales densos en un contenedor finito como densidad óptima global, o comparar densidades de cuerpos no congruentes o deformables sin normalización; asumir optimalidad de la red sin comprobar construcciones no-red o aperiódicas.

Consecuencia

Cuantifica la porosidad del material y la eficiencia de empaquetamiento, proporciona cotas para problemas de recubrimiento y transporte, y da restricciones en geometría discreta y ciencia de materiales; las densidades óptimas caracterizan disposiciones extremales y simetría.

Inversión

El problema complementario es la densidad de recubrimiento, que pregunta cuánto solapamiento es necesario para que traslaciones de los cuerpos cubran el espacio; la porosidad o fracción de vacío es igual a 1 menos la densidad de empaquetamiento y revierte la perspectiva lleno/vacío.

Límite

Definida para empaquetamientos en espacios métricos dotados de medida de volumen; depende de la clase de congruencia de los cuerpos y de los movimientos permitidos (solo traslaciones, o traslaciones y rotaciones). En contenedores finitos los efectos de borde importan y la densidad asintótica puede no aplicarse.

Tensión semántica

Relación cercana y confusión frecuente con densidad de recubrimiento, fracciones de empaquetamiento en configuraciones aleatorias sueltas/compactas y con configuraciones localmente más densas; redes frente a no redes y construcciones deterministas frente a probabilísticas crean nociones de optimalidad en competencia.

Síntesis

La densidad de empaquetamiento es la fracción asintótica de volumen ocupada por copias disjuntas de un cuerpo dado bajo la mejor disposición permitida; captura la eficiencia global de llenado del espacio, distingue optimizadores en red y no en red, y conecta la geometría discreta con fenómenos físicos de empaquetamiento.