La courbure scalaire est la fonction scalaire obtenue en prenant la trace du tenseur de Ricci par rapport à la métrique, R = g^{ij}Ric_{ij} ; elle représente une moyenne ponctuelle des courbures sectionnelles et constitue un invariant scalaire fondamental d'une métrique riemannienne.

Principe

La courbure scalaire compresse l'information directionnelle de courbure en une seule fonction en traçant Ricci, captant une moyenne des courbures sectionnelles en un point et intervenant dans des formules variationnelles et quantités scalaires dépendant de la courbure.

Démonstration

Pour la sphère ronde de dimension n et de rayon r la courbure scalaire est R = n(n−1)/r^2 ; en dimension deux la courbure scalaire est le double de la courbure gaussienne, mesurant directement la courbure intrinsèque des surfaces.

Mauvaise application

Interpréter le signe ou la grandeur de la courbure scalaire seule comme déterminant la topologie globale ou la rigidité sans hypothèses supplémentaires est une mauvaise application ; la courbure scalaire fournit une information moyennée et peut être compatible avec de nombreuses géométries locales différentes.

Conséquence

La courbure scalaire apparaît dans l'action d'Einstein–Hilbert en relativité générale, dans les problèmes de Yamabe et de prescription de courbure, et influence les comparaisons de volume et les résultats de stabilité ; des bornes sur la scalaire contraignent les métriques possibles mais sont moins fortes que des bornes sur Ricci ou les courbures sectionnelles.

Inversion

Une métrique de courbure scalaire identiquement nulle inverse la notion de courbure moyenne mais n'implique pas la platitude locale ; une courbure scalaire nulle peut coexister avec des composantes de Ricci et de Weyl non triviales.

Limite

Définie uniquement pour des variétés munies d'une métrique (pseudo-)riemannienne et dépendant de la dimension pour ses interprétations géométriques ; elle omet le contenu directionnel et conforme de la courbure et ne remplace pas des invariants de courbure plus fins.

Tension sémantique

Il existe une tension entre l'utilisation de la courbure scalaire comme invariant unique commode dans des problèmes variationnels et la reconnaissance du fait qu'il s'agit d'une moyenne grossière qui peut masquer des effets directionnels captés par Ricci et les courbures sectionnelles ; différents problèmes exigent des niveaux de détail en courbure différents.

Synthèse

La courbure scalaire est la trace métrique du tenseur de Ricci qui fournit une mesure scalaire de la courbure sectionnelle moyenne en chaque point ; c'est un invariant central en géométrie et en physique mais doit être interprété conjointement avec des données de courbure plus fines pour une information géométrique complète.