La curvatura escalar es el campo escalar obtenido trazando el tensor de Ricci con respecto a la métrica, R = g^{ij}Ric_{ij}; representa un promedio puntual de curvaturas seccionales y es un invariante escalar básico de una métrica Riemanniana.

Principio

La curvatura escalar comprime la información direccional de curvatura en una única función trazando Ricci, captando un promedio de las curvaturas seccionales en un punto y apareciendo en fórmulas variacionales y cantidades escalares dependientes de la curvatura.

Demostración

Para la n-esfera redonda de radio r la curvatura escalar es R = n(n−1)/r^2; en dos dimensiones la curvatura escalar es el doble de la curvatura gaussiana, por lo que mide directamente la curvatura intrínseca de las superficies.

Aplicación incorrecta

Interpretar el signo o la magnitud de la curvatura escalar por sí sola como determinante de la topología global o rigidez sin hipótesis adicionales es un uso indebido; la curvatura escalar proporciona información promediada y puede ser compatible con muchas geometrías locales diferentes.

Consecuencia

La curvatura escalar aparece en la acción de Einstein–Hilbert de la relatividad general, en problemas de Yamabe y de prescripción de curvatura, e influye en comparaciones de volumen y resultados de estabilidad; cotas sobre la escalar restringen métricas posibles pero son más débiles que cotas sobre Ricci o las curvaturas seccionales.

Inversión

Una métrica con curvatura escalar idénticamente nula invierte la noción de curvatura promedio pero no implica planitud local; la curvatura escalar nula permite que permanezcan componentes no triviales de Ricci y Weyl.

Límite

Definida sólo para variedades con métrica (pseudo-)Riemanniana y su interpretación geométrica depende de la dimensión; omite contenido direccional y conforme de la curvatura y no puede sustituir a invariantes de curvatura más finos.

Tensión semántica

Hay tensión entre usar la curvatura escalar como un invariante único conveniente para problemas varicionales y reconocer que es un promedio tosco que puede ocultar efectos direccionales captados por Ricci y las curvaturas seccionales; distintos problemas requieren distintos niveles de detalle curvatural.

Síntesis

La curvatura escalar es la traza métrica del tensor de Ricci que produce una medida escalar de la curvatura seccional media en cada punto; es un invariante central en geometría y física, pero debe interpretarse junto con datos de curvatura más finos para obtener información geométrica completa.