Le tenseur symétrique (0,2) obtenu en contractant le tenseur de courbure de Riemann sur une paire d'indices, Ric(X,Y) = trace_g(Z ↦ R(Z,X)Y), qui encode une information de courbure directionnelle moyennée et opère sur les vecteurs tangents.

Principe

Le tenseur de Ricci résulte du trace du tenseur de Riemann et enregistre la moyenne des courbures sectionnelles passant par une direction donnée ; il est symétrique et dépend de la métrique, gouvernant le volume et les propriétés de divergence des flux géodésiques.

Démonstration

Sur une variété d'Einstein le tenseur de Ricci est proportionnel à la métrique, Ric = λ g ; pour la sphère de dimension n cela donne Ric(v,v) = (n-1)/r^2 · g(v,v), montrant une courbure moyenne uniforme dans toutes les directions.

Mauvaise application

Utiliser le tenseur de Ricci comme s'il déterminait entièrement le tenseur de Riemann en dimensions supérieures est une mauvaise application ; Ricci élimine la partie sans trace (tenseur de Weyl) et ne peut donc capturer les détails de la courbure conforme.

Conséquence

La courbure de Ricci contrôle les théorèmes de comparaison volumétrique, la dispersion géodésique, et apparaît dans des équations d'évolution telles que le flot de Ricci ; des minorations de Ricci entraînent des contraintes métriques et topologiques fortes (Bonnet–Myers, Bishop–Gromov).

Inversion

La partie sans trace de la courbure (tenseur de Weyl) contraste avec Ricci en codant la partie conforme, préservant la forme, que la contraction Ricci élimine ; Ricci nul n'implique pas une courbure totale nulle lorsque le tenseur de Weyl est non nul.

Limite

Défini pour des métriques riemanniennes et pseudo-riemanniennes via le tenseur de Riemann ; il n'a pas de sens sans métrique et ne détermine pas les invariants conformes ou de plus haut ordre — propriétés dépendant de la dimension (p.ex. en 2D le tenseur de Ricci détermine la courbure totale).

Tension sémantique

Il existe une tension entre considérer Ricci comme l'objet de courbure principal pour le volume et les résultats globaux et reconnaître qu'il s'agit d'une moyenne qui omet des nuances directionnelles captées par la courbure sectionnelle et le tenseur de Weyl ; chaque perspective est adaptée à des problèmes différents.

Synthèse

Le tenseur de Ricci est la trace dépendante de la métrique du tenseur de Riemann qui enregistre la moyenne des courbures sectionnelles selon les directions et est à la base de résultats géométrico-analytiques liant bornes de courbure au volume, à la topologie et aux évolutions géométriques.