El tensor simétrico (0,2) obtenido al contraer el tensor de curvatura de Riemann en un par de índices, Ric(X,Y) = trace_g(Z ↦ R(Z,X)Y), que codifica información direccional de curvatura promedio y actúa sobre vectores tangentes.

Principio

El tensor de Ricci resulta de trazar el tensor de Riemann y registra el promedio de las curvaturas seccionales que atraviesan una dirección dada; es simétrico, depende de la métrica y gobierna propiedades de volumen y divergencia de flujos geodésicos.

Demostración

En una variedad de Einstein el tensor de Ricci es proporcional a la métrica, Ric = λ g; para la n-esfera esto da Ric(v,v) = (n-1)/r^2 · g(v,v), mostrando una curvatura media uniforme en todas las direcciones.

Aplicación incorrecta

Usar el tensor de Ricci como si determinara por completo el tensor de Riemann en dimensiones mayores es un uso indebido; Ricci elimina la parte sin traza (tenor de Weyl) y por tanto no puede captar detalles de curvatura conforme.

Consecuencia

La curvatura de Ricci controla teoremas de comparación volumétrica, la dispersión de geodésicas y aparece en ecuaciones evolutivas como el flujo de Ricci; cotas inferiores en Ricci implican fuertes restricciones métricas y topológicas (Bonnet–Myers, Bishop–Gromov).

Inversión

La parte sin traza de la curvatura (tensor de Weyl) contrasta con Ricci al codificar la porción conforme que Ricci elimina por traza; Ricci nulo no implica curvatura total nula cuando Weyl ≠ 0.

Límite

Definido para métricas Riemannianas y pseudo-Riemannianas a partir del tensor de Riemann; carece de sentido sin métrica y no determina invariantes conformes o de orden superior — propiedades que dependen de la dimensión (por ejemplo, en 2D Ricci determina la curvatura total).

Tensión semántica

Hay tensión entre tratar a Ricci como el objeto de curvatura primordial para volumen y resultados globales y reconocer que es un promedio que omite matices direccionales capturados por la curvatura seccional y el tensor de Weyl; cada perspectiva sirve a distintos problemas.

Síntesis

El tensor de Ricci es la traza dependiente de la métrica del tensor de Riemann que registra la curvatura seccional promedio según direcciones y sustenta resultados geométrico-analíticos clave que conectan cotas de curvatura con volumen, topología y evolución geométrica.