Procédure qui associe à une variété symplectique un espace de Hilbert et des opérateurs représentant les observables classiques, réalisant une correspondance entre crochet de Poisson et commutateur d'opérateurs pour produire un modèle quantique à partir de l'espace des phases classique.

Principe

On choisit un fibré en droites préquantique muni d'une connexion dont la courbure est la 2-forme symplectique, on choisit une polarisation pour réduire l'espace des états, et l'on élève les observables classiques en opérateurs de sorte que l'algèbre de Poisson soit représentée (à des facteurs iħ près) dans l'espace de Hilbert obtenu.

Démonstration

Pour le fibré cotangent T*Q muni de sa forme symplectique canonique, on construit le fibré préquantique et, avec la polarisation verticale (positions), on récupère les fonctions d'onde L^2(Q) et la représentation usuelle des opérateurs position et impulsion pour des systèmes simples comme une particule sur R^n.

Mauvaise application

Appliquer la procédure sans vérifier la condition d'intégralité de la forme symplectique ou en négligeant le choix d'une polarisation adéquate peut conduire à un espace de Hilbert inconsistent ou trivial, ou à des opérateurs ne respectant pas les relations de commutation requises.

Conséquence

Bien réalisée, la méthode produit un espace de Hilbert concret et une représentation d'une sous-algèbre choisie d'observables classiques ; des choix différents (fibré, connexion, polarisation) peuvent conduire à des théories quantiques non équivalentes.

Inversion

La quantification par déformation inverse la perspective en déformant l'algèbre des observables classiques (introduisant un produit étoile non commutatif) tout en laissant la variété de phase inchangée, au lieu de produire un espace de Hilbert à partir d'elle.

Limite

S'applique aux variétés symplectiques lisses (ou aux orbifolds) satisfaisant les conditions d'intégralité topologique nécessaires ; elle n'est pas directement définie pour des espaces de phases singuliers, des variétés de Poisson sans intégralité, ni pour la plupart des espaces de phases de théories de champ de dimension infinie sans structure supplémentaire.

Tension sémantique

Il existe une tension entre le souhait d'une quantification canonique et fonctorielle et la dépendance manifeste aux choix (fibré, connexion, polarisation) qui donne lieu à de nombreuses constructions non équivalentes ; cela contraste avec les approches algébriques ou intégrales de chemin.

Synthèse

La quantification géométrique est une méthode structurée qui transforme un espace des phases symplectique en un espace de Hilbert quantique en imposant des données topologiques et géométriques (fibré préquantique, connexion, polarisation) et en élevant les observables classiques en opérateurs, l'issue dépendant des structures auxiliaires choisies.