Ein Verfahren, das einer symplektischen Mannigfaltigkeit einen Hilbertraum und Operatoren zuordnet, die klassische Observablen repräsentieren, und so eine Entsprechung zwischen Poisson-Klammern und Operator-Kommutatoren herstellt, um aus dem klassischen Phasenraum ein quantitatives Modell zu gewinnen.

Prinzip

Man wählt ein präquantisches Linienbündel mit einer Verbindung, deren Krümmung die symplektische Form ist, wählt eine Polarisation zur Reduktion der Zustände und hebt klassische Observablen zu Operatoren an, sodass die Poisson-Algebra (bis auf Faktoren iħ) im resultierenden Hilbertraum dargestellt wird.

Demonstration

Für das Kotangentialbündel T*Q mit seiner kanonischen symplektischen Form konstruiert man das präquantische Bündel und erhält bei Wahl der vertikalen (Positions-)Polarisation die quadratintegrierbaren Wellenfunktionen auf Q sowie die übliche Darstellung von Positions- und Impulsoperatoren für einfache Systeme wie ein Teilchen auf R^n.

Fehlanwendung

Wendet man das Verfahren an, ohne die Integrabilitätsbedingung für die symplektische Form zu prüfen oder ohne eine geeignete Polarisation zu wählen, kann dies zu einem inkonsistenten oder trivialen Hilbertraum führen oder zu Operatoren, die die nötigen Kommutationsrelationen nicht erfüllen.

Konsequenz

Bei erfolgreicher Durchführung liefert das Verfahren einen konkreten Hilbertraum und eine Darstellung einer gewählten Unteralgebra klassischer Observablen; unterschiedliche Wahl von Bündel, Verbindung oder Polarisation kann zu nichtäquivalenten Quantentheorien führen.

Umkehrung

Die Deformationsquantisierung kehrt den Blickwinkel um, indem sie die Algebra klassischer Observablen verformt (ein nichtkommutatives Sternprodukt einführt), während die zugrundeliegende Phasenraummannigfaltigkeit erhalten bleibt, anstatt aus ihr einen Hilbertraum zu konstruieren.

Abgrenzung

Gilt für glatte symplektische Mannigfaltigkeiten (oder Orbifolds), die die erforderlichen topologischen Integrabilitätsbedingungen erfüllen; nicht direkt definiert für singuläre Phasenräume, Poisson-Mannigfaltigkeiten ohne Integrabilität oder die meisten unendlichdimensionalen Feldtheorie-Phasenräume ohne zusätzliche Struktur.

Semantische Spannung

Es besteht eine Spannung zwischen dem Wunsch nach einer kanonischen, funktoriellen Quantisierung und der offensichtlichen Wahlabhängigkeit (Bündel, Verbindung, Polarisation), welche viele nichtäquivalente Konstruktionen hervorbringt; dies steht im Gegensatz zu algebraischen oder Pfadintegral-Methoden.

Synthese

Geometrische Quantisierung ist ein strukturiertes Verfahren, das einen symplektischen Phasenraum durch Angabe topologischer und geometrischer Daten (Präquantumbündel, Verbindung, Polarisation) in einen Quantenzustandsraum überführt und klassische Observablen in Operatoren umsetzt, wobei das Resultat von den gewählten Hilfsmitteln abhängt.