Une décomposition d'un espace topologique de type variété en réunion disjointe de sous-variétés connexes et injectivement immergées appelées feuilles, de sorte que localement l'espace soit homéomorphe à un produit U × L avec les feuilles correspondant aux tranches {u} × L.

Principe

Structure locale de produit et intégrabilité : autour de chaque point il existe une carte dans laquelle les feuilles ressemblent à des copies parallèles de R^k ; pour les feuilletages lisses cela équivaut à l'intégrabilité d'un sous-fibré de rang k du fibré tangent (condition de Frobenius).

Démonstration

Exemples : le feuilletage du tore par cercles parallèles, le feuilletage de R^n par hyperplans horizontaux, et des feuilletages donnés par les niveaux d'une submersion ; des exemples plus complexes présentent une holonomie non triviale comme les composantes de Reeb en dimension trois.

Mauvaise application

Confondre feuilletage et fibré : un feuilletage n'a pas nécessairement un quotient en variété et les feuilles peuvent être denses ou avoir une holonomie compliquée ; considérer comme feuilletage toute partition en sous-variétés sans cartes locales en produit est incorrect.

Conséquence

Bien spécifié, un feuilletage fournit des invariants géométriques et dynamiques (groupoïdes d'holonomie, structures transverses, mesures), influence les EDP et la théorie de l'indice sur la variété, et contraint les dynamiques transverses et les flots le long des feuilles.

Inversion

Le contraire est un espace dépourvu de décomposition en feuilles ou muni de feuilletages singuliers où la propriété locale de produit échoue ; des comportements inverses apparaissent en présence de singularités ou de distributions non intégrables.

Limite

Désigne généralement des feuilletages réguliers (C^r ou lisses) sur des variétés ou espaces de type variété ; exclut les feuilletages singuliers, les laminations généralisées ou de simples partitions sauf si la régularité et la trivialité locale sont précisées.

Tension sémantique

Tension entre feuilletage, fibré, lamination et partition : les fibrations possèdent un quotient variétal et une structure produit globale, les laminations admettent des transverses totalement discontinues, et les partitions peuvent manquer de trivialité locale exigée pour un feuilletage.

Synthèse

Un feuilletage est une décomposition locale en produit d'une variété en sous-variétés immergées (les feuilles) régie par des conditions d'intégrabilité : il généralise les fibrations tout en autorisant des comportements locaux et globaux plus riches, notamment en dynamique transversale.