Una descomposición de un espacio de tipo variedad en la unión disjunta de subvariedades conectadas e inmersas llamadas hojas, de modo que localmente el espacio es homeomorfo a un producto U × L y las hojas corresponden a las secciones {u} × L.

Principio

Estructura local de producto e integrabilidad: alrededor de cada punto existe una carta en la que las hojas parecen copias paralelas de R^k; para feuilletages suaves esto equivale a la integrabilidad de un subfibrado de rango k del fibrado tangente (condición de Frobenius).

Demostración

Ejemplos: foliación del toro por círculos paralelos, foliation de R^n por hiperplanos horizontales, y foliation dadas por los niveles de una submersión; ejemplos más intrincados presentan holonomía no trivial como componentes de Reeb en dimensión tres.

Aplicación incorrecta

Confundir una foliation con una fibración: una foliation no necesita tener un cociente que sea variedad y las hojas pueden ser densas o tener holonomía complicada; considerar cualquier partición en subvariedades como foliation sin cartas locales en producto es incorrecto.

Consecuencia

Bien especificada, una foliation aporta invariantes geométricos y dinámicos (grupoides de holonomía, estructuras transversales, medidas), influye en EDP e índices en la variedad y restringe posibles flujos y dinámica transversal.

Inversión

El contrario es un espacio sin descomposición en hojas o con foliaciones singulares donde falla la propiedad local de producto; aparecen comportamientos opuestos en presencia de singularidades o distribuciones no integrables.

Límite

Normalmente se refiere a foliaciones regulares (C^r o suaves) en variedades o espacios de tipo variedad; excluye foliaciones singulares, laminaciones generalizadas o meras particiones salvo que se precise la regularidad y la trivialidad local.

Tensión semántica

Tensión entre foliation, fibración, laminación y partición: las fibraciones tienen un cociente que es variedad y estructura producto global, las laminaciones permiten transversales totalmente discontinuas y las particiones pueden carecer de la trivialidad local exigida a una foliation.

Síntesis

Una foliation es una descomposición local en producto de una variedad en subvariedades inmersas (hojas) regida por condiciones de integrabilidad: generaliza fibraciones y captura geometría por hojas y dinámica transversal con comportamientos locales y globales más ricos.