Une région polygonale dans un espace couvrant (typiquement le plan euclidien ou hyperbolique) dont les arêtes sont appariées par un groupe discret d'isométries de sorte que l'identification des paires d'arêtes produit une surface ou un orbifold quotient ; les points intérieurs se projettent injectivement sur le quotient.

Principe

Le polygone fondamental est un domaine fondamental pour l'action proprement discontinue d'un groupe qui peut être choisi polygonal : les arêtes sont mises en correspondance par des éléments du groupe, les sommets correspondent à des orbites, et le polygone pavage l'espace couvrant sous l'action du groupe.

Démonstration

Exemples concrets : un carré dont les côtés opposés sont identifiés donne un tore, un octogone dans le plan hyperbolique avec appariements de côtés fournit une surface fermée de genre supérieur, et des domaines fondamentaux polygonaux sont utilisés pour des groupes fuchsiens agissant sur le disque hyperbolique.

Mauvaise application

Qualifier de polygone fondamental n'importe quel polygone muni d'appariements d'arêtes sans vérifier que le groupe agit proprement discontinûment, que les identifications sont des isométries, ou que l'intérieur se projette injectivement ; employer des pièces qui se recouvrent ou des identifications non discrètes est incorrect.

Conséquence

Une construction correcte donne une description géométrique et combinatoire du quotient : on obtient des présentations du groupe fondamental à partir des appariements d'arêtes, une décomposition géométrique de la surface et des moyens de calculer des invariants comme la caractéristique d'Euler ou le genre.

Inversion

Le contraire est l'espace couvrant sans identifications ou un polygone qui ne représente pas un domaine fondamental complet (par exemple une région recouvrant ses translatés) ; un tel polygone ne définit pas la structure du quotient.

Limite

S'applique lorsqu'un groupe discret d'isométries agit et qu'un domaine fondamental polygonal existe ; exclut les actions continues sans discontinuité propre, les domaines fondamentaux non polygonaux et les constructions nécessitant une structure d'orbifold supplémentaire sauf mention explicite.

Tension sémantique

Tension entre le terme plus général domaine fondamental (qui peut être n'importe quelle région mesurable ou topologique) et la spécialisation polygonale ; il faut aussi distinguer polygones fondamentaux algébriques (étiquetages combinatoires) et réalisations métriques par isométries.

Synthèse

Un polygone fondamental est un choix polygonal de domaine fondamental pour un groupe discret d'isométries agissant sur un espace couvrant : en appariant les arêtes par des éléments du groupe on obtient le quotient et une description combinatoire concrète de sa topologie et de sa géométrie.