Una región poligonal en un espacio de recubrimiento (típicamente el plano euclidiano o hiperbólico) cuyas aristas están emparejadas por un grupo discreto de isometrías de modo que identificar las parejas produce una superficie u orbifold cociente; los puntos interiores se proyectan de forma inyectiva sobre el cociente.

Principio

Un polígono fundamental es una elección polygonal de dominio fundamental para una acción de grupo propiamente discontinua: las aristas se emparejan por elementos del grupo, los vértices corresponden a órbitas y el polígono teje el espacio de recubrimiento bajo la acción del grupo.

Demostración

Ejemplos concretos incluyen un cuadrado con lados opuestos identificados que produce un toro, un octágono en el plano hiperbólico con emparejamientos de lados que da una superficie cerrada de género mayor, y dominios poligonales para grupos fuchsianos que actúan sobre el disco hiperbólico.

Aplicación incorrecta

Llamar polígono fundamental a cualquier polígono con emparejamientos sin comprobar que el grupo actúa propiamente discontinuamente, que las identificaciones son isometrías o que el interior se proyecta inyectivamente; usar piezas solapadas o identificaciones no discretas es incorrecto.

Consecuencia

Una construcción correcta proporciona una descripción combinatoria y geométrica del cociente: se obtienen presentaciones del grupo fundamental a partir de los emparejamientos, una descomposición geométrica de la superficie y herramientas para calcular invariantes como la característica de Euler y el género.

Inversión

El complemento es el espacio de recubrimiento sin identificaciones o un polígono que no representa un dominio fundamental completo (por ejemplo, una región que se solapa con sus traslaciones); tal polígono no define la estructura del cociente.

Límite

Se aplica cuando un grupo discreto de isometrías actúa en un espacio de recubrimiento y existe un dominio fundamental poligonal; excluye acciones continuas sin discontinuidad propia, dominios no poligonales y construcciones que requieran estructura adicional de orbifold salvo que se indique.

Tensión semántica

Existe tensión entre el término general dominio fundamental (que puede ser cualquier región medible o topológica) y la especialización poligonal; asimismo hay que distinguir polígonos fundamentales algebraicos (etiquetado combinatorio de aristas) de realizaciones métricas por isometrías.

Síntesis

Un polígono fundamental es una elección poligonal de dominio fundamental para un grupo discreto de isometrías que actúa en un espacio de recubrimiento: emparejando aristas mediante elementos del grupo se obtiene el cociente y una descripción combinatoria concreta de su topología y geometría.