Un orbifold est un espace topologique (ou objet plus structuré) localement modélisé sur le quotient de l'espace euclidien R^n par l'action d'un groupe fini ; les cartes enregistrent les groupes d'isotropie locaux de sorte que les points singuliers ont des stabilisateurs finis bien définis.

Principe

L'idée organisatrice est la modélisation locale équivariante : les espaces peuvent être localement de la forme R^n/G pour G fini, autorisant des singularités contrôlées tout en conservant une structure d'atlas de type variété et des notions d'groupe fondamental orbifold et d'orbifold tangent.

Démonstration

Exemple : un orbifold de dimension 2 peut être le quotient de la sphère par un groupe de rotations fini produisant des points-cônes ; dans la théorie des groupes géométriques ou en géométrie « string », les quotients orbifold de variétés par des actions finies illustrent le concept.

Mauvaise application

Qualifier d'orbifold tout espace à singularités isolées sans spécifier des cartes locales comme quotients par des groupes finis ou sans tenir compte des représentations d'isotropie est une mauvaise application.

Conséquence

L'utilisation correcte des orbifolds permet d'étendre les théories des variétés (cohomologie, théorèmes d'indice, formules de courbure) à des cadres avec singularités de quotient fini et fournit des invariants modifiés tenant compte des contributions d'isotropie.

Inversion

La réversion est la variété : partout localement modélisée sur l'espace euclidien avec stabilisateur trivial ; les variétés n'ont pas les symétries locales finies prescrites qui engendrent les singularités orbifold.

Limite

Portée : espaces localement isomorphes à R^n/G pour des groupes finis G avec transitions de cartes compatibles ; exclut les quotients non finis, les espaces stratifiés sans isotropie finie, et les singularités dépourvues de description locale par quotient de groupe.

Tension sémantique

Tension entre 'orbifold' et 'champ' (stack) ou 'espace singulier' : les champs enregistrent des données d'automorphismes plus fines et une fonctorialité, tandis que des espaces singuliers naïfs peuvent manquer de la tenue comptable de l'isotropie requise pour les orbifolds.

Synthèse

Un orbifold est un objet de type variété avec des singularités contrôlées par des quotients par groupes finis : les cartes locales sont R^n/G, les groupes d'isotropie sont consignés dans l'atlas, et de nombreux outils différentiables et topologiques se prolongent après ajustement pour les actions de groupe et les contributions des points fixes.