Un orbifold es un espacio topológico (o un objeto con más estructura) modelado localmente por el cociente del espacio euclidiano R^n por la acción de un grupo finito; los atlas registran los grupos de isotropía locales de modo que los puntos singulares tienen estabilizadores finitos bien definidos.

Principio

La idea organizadora es la modelización local equivariante: los espacios pueden ser localmente R^n/G para G finito, permitiendo singularidades controladas y conservando una estructura de atlas parecida a la de variedad y nociones como el grupo fundamental orbifold y fibrados tangentes orbifold.

Demostración

Ejemplo: un orbifold bidimensional puede ser el cociente de la esfera por un grupo finito de rotaciones produciendo puntos-cono; en teoría geométrica de grupos o geometría relacionada con teoría de cuerdas, los cocientes orbifold de variedades por acciones finitas son ejemplos canónicos.

Aplicación incorrecta

Llamar orbifold a cualquier espacio con singularidades aisladas sin especificar cartas locales como cocientes por grupos finitos o sin controlar las representaciones de isotropía es una mala aplicación.

Consecuencia

El uso correcto permite extender teorías de variedades (cohomología, teoremas de índice, fórmulas de curvatura) a contextos con singularidades de cociente finito y produce invariantes modificados que tienen en cuenta contribuciones de isotropía.

Inversión

El reverso es la variedad: localmente modelada por el espacio euclidiano con estabilizador trivial en cada punto; las variedades carecen de las simetrías locales finitas prescritas que generan las singularidades orbifold.

Límite

Ámbito: espacios localmente isomorfos a R^n/G para grupos finitos G con transiciones de cartas compatibles; excluye cocientes no finitos, espacios estratificados sin isotropía finita y singularidades que no admiten descripción local por cociente de grupo.

Tensión semántica

Tensión entre 'orbifold' y 'stack' o 'espacio singular': los stacks registran datos de automorfismos más finos y functorialidad, mientras que los espacios singulares ingenuos pueden carecer de la contabilidad de isotropía que exige un orbifold.

Síntesis

Un orbifold es un objeto similar a una variedad con singularidades controladas por cocientes de grupos finitos: las cartas locales son R^n/G, los grupos de isotropía se documentan en el atlas, y muchas herramientas diferencial-topológicas se extienden tras ajustar por acciones de grupo y contribuciones de puntos fijos.