Une variété projective est un sous-ensemble X de l'espace projectif P^n sur un corps (généralement algébriquement clos) défini comme le lieu commun des zéros d'une collection de polynômes homogènes ; elle est munie de la topologie de Zariski et sa structure algébrique est précisée par des anneaux de coordonnées ou des schémas.

Principe

L'idée organisatrice est l'annulation de polynômes homogènes : les variétés projectives sont des objets géométriques invariants par multiplication scalaire des coordonnées homogènes, capturant les zéros d'idéaux homogènes.

Démonstration

Exemple : une courbe projective dans le plan définie par un seul polynôme homogène F(x:y:z)=0, comme une cubique non singulière dans P^2, illustre l'invariance projective et des propriétés globales telles que le degré et le genre.

Mauvaise application

Traiter l'ensemble des zéros affines de polynômes non homogènes dans l'espace affine comme une variété projective, sans homogénéisation ni ajout de points à l'infini, est une mauvaise application du cadre projectif.

Conséquence

Une utilisation correcte fournit des invariants globaux (degré, dimension, polynôme de Hilbert), des notions bien définies de multiplicités d'intersection et la compacité pour la topologie de Zariski, facilitant les méthodes algébro-géométriques.

Inversion

La réversion s'oppose aux variétés affines : les ensembles affines sont définis dans l'espace affine par des polynômes arbitraires et n'imposent pas l'homogénéité ni la symétrie de mise à l'échelle projective, manquant de points à l'infini canoniques.

Limite

Portée : en général sur des corps algébriquement clos pour la théorie classique ; exclut les ensembles analytiques arbitraires, les lieux non homogènes dans les coordonnées projectives, et les espaces dépourvus d'un anneau de coordonnées homogène sous-jacent.

Tension sémantique

Tension entre « variété projective » et « schéma projectif » ou « ensemble algébrique projectif » : variété implique souvent irréductibilité et réduit, alors que les schémas autorisent des nilpotents et des recollements plus généraux.

Synthèse

Une variété projective est le lieu d'annulation homogène dans un espace projectif déterminé par un idéal homogène ; définie globalement à l'échelle projective, elle porte des invariants algébriques (degré, dimension) et constitue un objet compact pour la théorie des intersections et les questions de module.