Una variedad proyectiva es un subconjunto X del espacio proyectivo P^n sobre un cuerpo (típicamente algebraicamente cerrado) definido como el lugar común de ceros de una colección de polinomios homogéneos; se equipa con la topología de Zariski y su estructura algebraica se precisa mediante anillos de coordenadas o esquemas.

Principio

La idea organizadora es la anulación por polinomios homogéneos: las variedades proyectivas son objetos geométricos invariantes bajo multiplicación escalar de coordenadas homogéneas, que capturan ceros de ideales homogéneos.

Demostración

Ejemplo: una curva proyectiva en el plano dada por un único polinomio homogéneo F(x:y:z)=0, como una cúbica no singular en P^2, exhibe invariancia proyectiva y propiedades globales como grado y género.

Aplicación incorrecta

Aplicar indebidamente el marco proyectivo tratando el conjunto afín de ceros de polinomios no homogéneos en espacio afín como una variedad proyectiva sin homogenizar ni añadir puntos en el infinito es un error.

Consecuencia

Su uso correcto proporciona invariantes globales (grado, dimensión, polinomio de Hilbert), nociones bien definidas de multiplicidad de intersección y compacidad en la topología de Zariski que facilitan métodos algebraico-geométricos.

Inversión

El reverso contrasta con las variedades afines: los conjuntos afines se definen en espacio afín por polinomios arbitrarios y no imponen homogeneidad ni simetría de escalado proyectivo, careciendo de puntos en el infinito canónicos.

Límite

Ámbito: típicamente sobre cuerpos algebraicamente cerrados para la teoría clásica; excluye conjuntos analíticos arbitrarios, lugares no homogéneos en coordenadas proyectivas y espacios sin un anillo de coordenadas homogéneo subyacente.

Tensión semántica

Existe tensión entre 'variedad proyectiva' y 'esquema proyectivo' o 'conjunto algebraico proyectivo': variedad suele implicar irreducibilidad y reducididad, mientras que los esquemas permiten nilpotentes y pegados más generales.

Síntesis

Una variedad proyectiva es el lugar de ceros de un ideal homogéneo en espacio proyectivo; definida a escala proyectiva, porta invariantes algebraicos como grado y dimensión y constituye un objeto compacto para teoría de intersecciones y problemas de módulo.