Un recouvrement d'un espace (souvent le plan euclidien ou une surface) par des tuiles non chevauchantes qui s'emboîtent sans espaces selon des règles locales d'adjacence ; les pavages peuvent être périodiques ou apériodiques et être géométriques ou combinatoires.

Principe

Les motifs globaux proviennent de contraintes locales d'adjacence et de correspondance : les prototuiles autorisés et les règles de bords déterminent les arrangements globaux possibles et leurs symétries, parfois en imposant l'apériodicité.

Démonstration

Les pavages réguliers par triangles équilatéraux, carrés ou hexagones réguliers recouvrent le plan périodiquement. Des ensembles apériodiques de prototuiles (type Penrose) recouvrent le plan sans symétrie de translation, produisant un ordre quasi-cristallin.

Mauvaise application

Qualifier de pavage un empilement de formes qui se chevauchent, ou affirmer l'existence d'un pavage pour un ensemble de prototuiles sans vérifier les règles locales de collage ou en tolérant des lacunes d'accumulation.

Conséquence

Les pavages relient cristallographie, géométrie discrète et systèmes dynamiques : les pavages périodiques ont des symétries en réseau, les pavages apériodiques présentent des spectres de diffraction non triviaux, et les espaces de pavages possèdent une topologie riche.

Inversion

Si les tuiles ne peuvent être disposées sans espaces ni chevauchements selon les règles, la structure n'est pas un pavage ; relâcher l'absence de chevauchement donne des empilements, autoriser des recouvrements avec chevauchements conduit à des notions différentes.

Limite

La notion dépend de la géométrie ambiante (euclidienne, sphérique, hyperbolique) et des formes autorisées (polygonales, courbes, fractales) ; elle exclut les recouvrements avec chevauchements de mesure nulle sauf si cela est explicitement permis et distingue pavages, partitions et empilements.

Tension sémantique

Tension entre pavage et empilement : les deux recouvrent l'espace mais diffèrent sur l'autorisation de chevauchements et d'interstices, et entre pavages périodiques (symétrie en réseau) et apériodiques (non-périodicité forcée) aux comportements spectraux et dynamiques distincts.

Synthèse

Un pavage est un arrangement global construit à partir de tuiles locales autorisées et de règles de collage ; ces contraintes locales vers le global déterminent si le recouvrement est périodique, apériodique ou impossible, et régissent les conséquences géométriques, combinatoires et dynamiques.