Un recubrimiento de un espacio (a menudo el plano euclídeo o una superficie) por baldosas que no se solapan y encajan sin huecos según reglas locales de emparejamiento; los mosaicos pueden ser periódicos o aperiódicos y pueden ser geométricos o combinatorios.

Principio

Los patrones globales surgen de restricciones locales de adyacencia y coincidencia: las protobaldosas permitidas y las reglas de borde determinan los arreglos globales posibles y las simetrías, a veces forzando la aperiocidad.

Demostración

Teselaciones regulares por triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares cubren el plano de forma periódica. Conjuntos aperiódicos de protobaldosas (tipo Penrose) cubren el plano sin simetría por traslación, produciendo orden cuasicristalino.

Aplicación incorrecta

Llamar teselación a un empaquetamiento de formas que se solapan, o afirmar que existe una teselación para un conjunto de protobaldosas sin verificar las reglas locales de emparejamiento o permitiendo huecos en puntos de acumulación.

Consecuencia

Las teselaciones se conectan con la cristalografía, la geometría discreta y los sistemas dinámicos: las teselaciones periódicas tienen simetrías en red, las aperiódicas producen espectros de difracción no triviales, y los espacios de teselación poseen topología interesante.

Inversión

Si las baldosas no pueden disponerse sin huecos ni solapamientos según las reglas, la estructura no es una teselación; relajar la no-superposición conduce a empaquetamientos, permitir solapamientos produce recubrimientos con propiedades matemáticas distintas.

Límite

La noción depende de la geometría ambiente (euclídea, esférica, hiperbólica) y de las formas permitidas (polygonales, curvas, fractales); excluye recubrimientos con solapamientos de medida nula salvo que se permita explícitamente y distingue teselaciones de particiones y empaquetamientos.

Tensión semántica

Hay tensión entre teselación y empaquetamiento: ambos cubren el espacio pero difieren en la admisión de solapamientos y huecos, y entre teselaciones periódicas (simetría de red) y aperiódicas (no periodicidad forzada) con distintos comportamientos espectrales y dinámicos.

Síntesis

Una teselación es un arreglo global construido a partir de baldosas locales permitidas y reglas de emparejamiento; las restricciones locales-a-global determinan si el recubrimiento es periódico, aperiódico o imposible y gobiernan consecuencias geométricas, combinatorias y dinámicas.