Un sous-ensemble convexe compact de l'espace euclidien qui est l'enveloppe convexe d'un nombre fini de points ; de façon équivalente l'intersection bornée d'un nombre fini d'hyperplans supports, muni d'un réseau fini de faces.

Principe

Des données combinatoires finies (sommets, arêtes, faces) conjuguées à la convexité déterminent la géométrie : les théorèmes de Carathéodory, Minkowski et des hyperplans supports relient combinatoire, métrique et dualité.

Démonstration

Un cube est l'enveloppe convexe de ses huit sommets et l'intersection de six demi-espaces supports. En général, les faces d'un polytope sont elles-mêmes des polytopes et peuvent être triangulées en simplexes.

Mauvaise application

Qualifier de polytope convexe tout ensemble borné à frontière polygonale malgré des encoches non convexes, ou confondre les polytopes avec des ensembles convexes infinis (cônes, cylindres) qui ne sont pas compacts.

Conséquence

Les polytopes convexes admettent des descriptions finies, des polytopes duals, des invariants f-vectors, et des traitements algorithmiques : programmation linéaire, énumération des faces et calcul de volume exploitent leur structure.

Inversion

Abandonner la propriété de bornitude ou la finitude des demi-espaces supports conduit à des polyèdres non bornés ou à des ensembles convexes généraux avec un comportement qualitativement différent (pas de réseau fini de faces, dualité modifiée).

Limite

La définition exige compacité et génération finie par des points ; elle exclut les polytopes non convexes, les polytopes infinis (polyèdres) et les polytopes courbes ; les polytopes topologiques ou combinatoires sans plongement constituent des notions distinctes.

Tension sémantique

Tension entre le polytope géométrique (plongé) et le polytope abstrait (structure d'incidence), ainsi qu'entre invariants combinatoires (f-vectors) et propriétés métriques (volumes, angles).

Synthèse

Un polytope convexe est un corps convexe compact engendré finiment dont la structure combinatoire finie (faces, sommets) gouverne invariants discrets et propriétés géométriques continues, permettant dualité et traitements algorithmiques.