Un invariant spectral d'un opérateur elliptique auto-adjoint défini comme la valeur en zéro de sa fonction eta η(s) = ∑_{λ≠0} signe(λ) |λ|^{-s} après continuation analytique ; il mesure l'asymétrie spectrale (déséquilibre entre valeurs propres positives et négatives) et fournit des termes de correction aux bords dans des formules d'indice.

Principe

Construire la fonction eta à partir de la somme signée des puissances des valeurs propres non nulles, prolonger analytiquement η(s) en s = 0 et définir η(0) (souvent modulo entiers lorsqu'il existe une ambiguïté). L'invariant capture une asymétrie spectrale globale non visible aux invariants basés sur les valeurs absolues et dépend des conditions aux bords.

Démonstration

Pour un opérateur de Dirac auto-adjoint sur une variété fermée de dimension impaire, calculer η(s) à partir du spectre discret et l'évaluer en s = 0 pour obtenir un nombre réel ; pour des problèmes tordus unidimensionnels simples, l'invariant eta peut être fractionnaire et varie continûment avec le flux spectral.

Mauvaise application

Prendre l'invariant eta pour toujours entier ou local (c'est typiquement une quantité spectrale réelle et analytique) ou ignorer la contribution des valeurs propres nulles conduit à des erreurs ; ne pas tenir compte du choix de coupure spectrale ou de régularisation modifie sa valeur par des entiers.

Conséquence

Les invariants eta apparaissent comme termes de correction dans le théorème d'Atiyah–Patodi–Singer pour les variétés à bord, déterminent des phases dans les anomalies de lignes de déterminants et quantifient l'asymétrie spectrale pertinente en analyse géométrique et en théorie quantique des champs.

Inversion

La réciproque considère l'invariant spectral non signé (comme le déterminant régularisé par zêta construit à partir de |λ|), qui ignore l'information de signe ; alors que eta enregistre le déséquilibre signé, le déterminant non signé ne retient que la magnitude — l'inversion perd l'information d'asymétrie.

Limite

Défini pour des opérateurs elliptiques auto-adjoints avec spectre discret après régularisation appropriée ; sensible aux conditions aux bords et aux choix de normalisation, et des complications apparaissent pour des opérateurs à spectre continu ou aux domaines mal contrôlés.

Tension sémantique

Étroitement lié à la phase des déterminants régularisés par zêta et au flux spectral : le flux spectral modifie souvent eta par des entiers, créant une tension entre données d'indice entières et asymétrie spectrale à valeurs réelles.

Synthèse

L'invariant eta est la somme spectrale signée prolongée analytiquement en zéro qui quantifie le déséquilibre entre valeurs propres positives et négatives d'un opérateur elliptique auto-adjoint ; il fournit des termes de correction spectrale subtils essentiels en théorie de l'indice avec bord et dans le calcul d'anomalies.