Un invariante espectral de un operador elíptico autoadjunto definida como el valor en cero de su función eta η(s) = ∑_{λ≠0} sign(λ) |λ|^{-s} tras continuación analítica; mide la asimetría espectral (desequilibrio entre autovalores positivos y negativos) y aporta términos de corrección en fórmulas de índice con borde.

Principio

Se construye la función eta a partir de la suma signada de potencias de los autovalores no nulos, se continúa analíticamente η(s) hasta s=0 y se define η(0) (a menudo modulo enteros cuando existe ambigüedad). El invariante captura asimetría espectral global no visible para invariantes basados en valores absolutos y depende de las condiciones de contorno.

Demostración

Para un operador de Dirac autoadjunto en una variedad cerrada de dimensión impar se calcula η(s) a partir del espectro discreto y se evalúa en s=0 para obtener un número real; en problemas unidimensionales con torsión el invariante eta puede ser fraccionario y variar continuamente con el flujo espectral.

Aplicación incorrecta

Tratar el invariante eta como siempre entero o local (es típicamente una cantidad espectral real y analítica) o ignorar la contribución de autovalores cero conduce a errores; tampoco tener en cuenta la elección de corte espectral o de regularización puede cambiar su valor por enteros.

Consecuencia

Los invariantes eta aparecen como términos de corrección en el teorema de índice de Atiyah–Patodi–Singer para variedades con frontera, determinan fases en anomalías de líneas de determinantes y cuantifican la asimetría espectral relevante en análisis geométrico y teoría cuántica de campos.

Inversión

La inversión considera el invariante espectral no firmado (por ejemplo el determinante regularizado por zeta construido a partir de |λ|), que ignora la información de signo; mientras eta registra el desequilibrio signado, el determinante no firmado solo registra magnitudes — la inversión pierde información de asimetría.

Límite

Definido para operadores elípticos autoadjuntos con espectro discreto tras una regularización adecuada; sensible a las condiciones de contorno y a las elecciones de normalización, con complicaciones para operadores con espectro continuo o dominios mal controlados.

Tensión semántica

Estrechamente relacionado con la fase de los determinantes regularizados por zeta y con el flujo espectral: el flujo espectral cambia eta por enteros en muchos contextos, generando tensión entre datos de índice enteros y la asimetría espectral real.

Síntesis

El invariante eta es la suma espectral signada, continuada analíticamente en cero, que cuantifica el desequilibrio entre autovalores positivos y negativos de un operador elíptico autoadjunto; proporciona términos de corrección espectral sutiles, esenciales en la teoría de índices con fronteras y en cálculos de anomalías.