Un invariant à valeurs entières d'une famille à un paramètre continue d'opérateurs de Fredholm auto-adjoints qui compte, avec signe et multiplicité, le nombre net de valeurs propres traversant zéro lorsque le paramètre varie ; il relie les données spectrales aux indices topologiques.

Principe

Les traversées de valeurs propres par zéro sont discrètes pour des familles d'opérateurs de Fredholm auto-adjoints ; en attribuant un comptage orienté aux traversées on obtient un entier homotopie-invariant qui, par suspension, égale l'indice d'un opérateur associé sur un cylindre.

Démonstration

Pour un chemin lisse {A_t}_{t∈[0,1]} d'opérateurs bornés auto-adjoints de Fredholm, on suit les valeurs propres λ_i(t) : le flux spectral est la somme sur les instants de traversée t_j des signes de (d/dt)λ_i(t_j) comptés avec multiplicité. Pour des familles d'opérateurs de Dirac D_t = D + tK sur une variété fermée, le flux spectral coïncide avec l'indice de ∂_t + D_t sur M×[0,1].

Mauvaise application

Compter les traversées sans orientation ou ignorer les dégénérescences (traversées multiples simultanées) donne des totaux incorrects ; appliquer la notion à des opérateurs non-Fredholm ou à des familles où le spectre essentiel traverse zéro échoue, car les traversées peuvent ne plus être discrètes ou bien définies.

Conséquence

Le flux spectral relie l'analyse à la topologie : il calcule des différences de projections spectrales, intervient dans des preuves de théorèmes d'indice pour des familles, se relie à l'indice de Maslov en géométrie symplectique et mesure les changements de phase spectrale sous déformations continues.

Inversion

Inversement, on obtient le flux spectral négatif en parcourant le paramètre dans le sens opposé ; conceptuellement, se concentrer sur des traversées d'un niveau non nul ou sur la création/annihilation de valeurs propres plutôt que sur les traversées en zéro modifie fondamentalement l'invariant.

Limite

Défini pour des chemins continus d'opérateurs de Fredholm auto-adjoints (bornés ou, pour les non bornés, contrôlés par la topologie du graphe) ; non défini en général pour des familles non auto-adjointes, pour des opérateurs non bornés sans contrôle de domaine, ni lorsque le spectre essentiel traverse zéro.

Tension sémantique

Proche mais distinct de l'indice de Fredholm : dans de nombreuses constructions le flux spectral coïncide avec l'indice d'un opérateur de suspension, mais le flux spectral dépend du chemin alors que l'indice est associé à un opérateur unique ; la tension survient en distinguant invariance de chemin et invariants des extrémités.

Synthèse

Le flux spectral est le décompte orienté des changements de signe des valeurs propres traversant zéro le long d'un chemin continu d'opérateurs auto-adjoints de Fredholm ; il transforme le mouvement spectral analytique en un entier qui encode des informations topologiques et d'indice sur la famille.